Question

（2013•襄阳）如图，以AD为直径的半圆O经过Rt△ABC斜边AB的两个端点，交直角边AC于点E，B、E是半圆弧的三等分点，弧BE的长为

2

3

π，则图中阴影部分的面积为（　　）

• A．

  π

  9

• B．

  3 π

  9

• C．

  3 3

  2

  -

  3π

  2

• D．

  3 3

  2

  -

  2π

  3

Answer 1

分析：首先根据圆周角定理得出扇形半径以及圆周角度数，进而利用锐角三角函数关系得出BC，AC的长，利用S_△ABC-S_扇形BOE=图中阴影部分的面积求出即可．

解答：解：连接BD，BE，BO，EO，
∵B，E是半圆弧的三等分点，
∴∠EOA=∠EOB=∠BOD=60°，
∴∠BAC=30°，
∵弧BE的长为

2

3

π，
∴

60π×R

180

=

2

3

π，
解得：R=2，
∴AB=ADcos30°=2

3

，
∴BC=

1

2

AB=

3

，
∴AC=

AB2-BC2

=3，
∴S_△ABC=

1

2

×BC×AC=

1

2

×

3

×3=

3 3

2

，
∵△BOE和△ABE同底等高，
∴△BOE和△ABE面积相等，
∴图中阴影部分的面积为：S_△ABC-S_扇形BOE=

3 3

2

-

60π×22

360

=

3 3

2

-

2π

3

．
故选：D．

点评：此题主要考查了扇形的面积计算以及三角形面积求法等知识，根据已知得出∴△BOE和△ABE面积相等是解题关键．