Question

10．如图①，抛物线y=ax²+bx+3（a≠0）与x轴交于点A（-1，0），B（3，0），与y轴交于点C，连接BC．
（1）求抛物线的表达式；
（2）抛物线上是否存在点M，使得△MBC的面积与△OBC的面积相等，若存在，请直接写出点M的坐标；若不存在，请说明理由；
（3）点D（2，m）在第一象限的抛物线上，连接BD．在对称轴左侧的抛物线上是否存在一点P，满足∠PBC=∠DBC？如果存在，请求出点P的坐标；如果不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）根据抛物线y=ax²+bx+3（a≠0）经过点A（-1，0），B（3，0），可求得抛物线的表达式；
（2）根据直线BC的解析式为y=-x+3，可得过点O与BC平行的直线y=-x，与抛物线的交点即为M，据此求得点M的坐标；
（3）设BP交轴y于点G，再根据点B、C、D的坐标，得到∠DCB=∠OBC=∠OCB=45°，进而判定△CGB≌△CDB，求得点G的坐标为（0，1），得到直线BP的解析式为y=-$\frac{1}{3}$x+1，最后计算直线BP与抛物线的交点P的坐标即可．

解答 解：（1）∵抛物线y=ax²+bx+3（a≠0）与x轴交于点A（-1，0），B（3，0），
∴$\left\{\begin{array}{l}{a-b+3=0}\\{9a+3b+3=0}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{a=-1}\\{b=2}\end{array}\right.$，
∴抛物线的表达式为y=-x²+2x+3；

（2）存在．
∵抛物线的表达式为y=-x²+2x+3，
∴点C的坐标为（0，3），
∵C（0，3），B（3，0），
∴直线BC的解析式为y=-x+3，
∴过点O与BC平行的直线y=-x，与抛物线的交点即为M，
解方程组$\left\{\begin{array}{l}{y=-x}\\{y=-{x}^{2}+2x+3}\end{array}\right.$，
可得$\left\{\begin{array}{l}{x=\frac{3+\sqrt{21}}{2}}\\{y=\frac{-3-\sqrt{21}}{2}}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{x=\frac{3-\sqrt{21}}{2}}\\{y=\frac{-3+\sqrt{21}}{2}}\end{array}\right.$，
∴M₁（$\frac{3+\sqrt{21}}{2}$，$\frac{-3-\sqrt{21}}{2}$），M₂（$\frac{3-\sqrt{21}}{2}$，$\frac{-3+\sqrt{21}}{2}$）；

（3）存在．
如图，设BP交轴y于点G，
∵点D（2，m）在第一象限的抛物线上，
∴当x=2时，m=-2²+2×2+3=3，
∴点D的坐标为（2，3），
把x=0代入y=-x²+2x+3，得y=3，
∴点C的坐标为（0，3），
∴CD∥x轴，CD=2，
∵点B（3，0），
∴OB=OC=3，
∴∠OBC=∠OCB=45°，
∴∠DCB=∠OBC=∠OCB=45°，
又∵∠PBC=∠DBC，BC=BC，
∴△CGB≌△CDB（ASA），
∴CG=CD=2，
∴OG=OC-CG=1，
∴点G的坐标为（0，1），
设直线BP的解析式为y=kx+1，
将B（3，0）代入，得3k+1=0，
解得k=-$\frac{1}{3}$，
∴直线BP的解析式为y=-$\frac{1}{3}$x+1，
令-$\frac{1}{3}$x+1=-x²+2x+3，
解得${x}_{1}=-\frac{2}{3}$，x₂=3，
∵点P是抛物线对称轴x=-$\frac{b}{2a}$=1左侧的一点，即x＜1，
∴x=-$\frac{2}{3}$，
把x=-$\frac{2}{3}$代入抛物线y=-x²+2x+3中，
解得y=$\frac{11}{9}$，
∴当点P的坐标为（-$\frac{2}{3}$，$\frac{11}{9}$）时，满足∠PBC=∠DBC．

点评 本题属于二次函数综合题，主要考查了二次函数与一次函数的图象与性质、函数图象上点的坐标特征、待定系数法、全等三角形的判定、等腰直角三角形的性质、三角形面积计算等重要知识点的综合应用，解决问题的关键是画出图形，找出判定全等三角形的条件．