Question

16．如图，抛物线y=x²+bx+c与x轴相交于A、B两点，点B的坐标为（3，0），与y轴相交于点C（0，-3），顶点为D．
（1）求出抛物线y=x²+bx+c的表达式；
（2）连结BC，与抛物线的对称轴交于点E，点P为线段BC上的一个动点，过点P作PF∥DE交抛物线于点F，设点P的横坐标为m．
①当m为何值时，四边形PEDF为平行四边形．
②设四边形OBFC的面积为S，求S的最大值．

Answer 1

分析 （1）由B、C两点的坐标，利用待定系数法可求得抛物线的表达式；
（2）①可求得直线BC的解析式，则可表示出P、F的坐标，从而可表示出PF和DE的长，由平行四边形的性质可知PF=DE，则可得到关于m的方程，可求得m的值；②用m可表示出PF的长，则可表示出△BCF的面积，从而可表示出四边形OBFC的面积，利用二次函数的性质可求得其最大值．

解答 解：
（1）∵抛物线过B、C两点，
∴$\left\{\begin{array}{l}{9+3b+c=0}\\{c=-3}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{b=-2}\\{c=-3}\end{array}\right.$，
∴抛物线表达式为y=x²-2x-3；

（2）①∵B（3，0），C（0，-3），
∴直线BC解析式为y=x-3，
∵y=x²-2x-3=（x-1）²-4，
∴D（1，-4），
∴E（1，-2），
∴DE=-2-（-4）=2，
∵PF∥DE，且P（m，m-3），
∴F（m，m²-2m-3），
∵点P为线段BC上的一个动点，
∴PF=m-3-（m²-2m-3）=-m²+3m，
当四边形PEDF为平行四边形时，则有PF=DE=2，
即-m²+3m=2，解得m=1（舍去）或m=2，
∴当m的值为2时，四边形PEDF为平行四边形；

②由①可知PF=-m²+3m，
∴S_△FBC=$\frac{1}{2}$PF•OB=$\frac{1}{2}$×3（-m²+3m）=-$\frac{3}{2}$（m-$\frac{3}{2}$）²+$\frac{27}{8}$，
∵S_△OBC=$\frac{1}{2}$OB•OC=$\frac{1}{2}$×3×3=$\frac{9}{2}$，
∴S=S_△FBC+S_△OBC=-$\frac{3}{2}$（m-$\frac{3}{2}$）²+$\frac{27}{8}$+$\frac{9}{2}$=-$\frac{3}{2}$（m-$\frac{3}{2}$）²+$\frac{63}{8}$，
∵-$\frac{3}{2}$＜0，
∴当m=$\frac{3}{2}$时，S有最大值$\frac{63}{8}$．

点评 本题为二次函数的综合应用，涉及待定系数法、平行四边形的性质、三角形的面积、二次函数的性质及方程思想等知识．在（1）中注意待定系数法的应用，在（2）中用m表示出PF的长是解题的关键．本题考查知识点较多，综合性较强，难度适中．