Question

已知：抛物线，对称轴为直线，抛物线与y轴交于点，与轴交于、两点．
(1)求直线的解析式；
(2)若点是线段下方抛物线上的动点，求四边形面积的最大值；
(3)为抛物线上一点，若以线段为直径的圆与直线切于点,求点的坐标．

Answer 1

（1）
（2）
（3）解析:
解：（1）∵对称轴
∴            ……………………………………………………1分
∵ 
∴
设直线AC的解析式为
∵，, 代入得：
直线的解析式为  ………………………………………2分
（2）代数方法一：
过点D作DM∥y轴分别交线段AC和x轴于点M、N．

设，则…………………………………3分
∵
               

              
              ……………………………………5分
∴当时，四边形ABCD面积有最大值.
代数方法二：
 
=
= ……………………………………5分
∴当时，四边形ABCD面积有最大值.
几何方法：
过点作的平行线，设直线的解析式为.
由得：………………………………3分
当时，直线与抛物线只有一个公共点
即：当时,△ADC的面积最大,四边形ABCD面积最大
此时公共点的坐标为        ………………………………4分
                 
=                                 ………………………………5分
即：当时，四边形ABCD面积有最大值.
（3）如图所示，由抛物线的轴对称性可求得（1，0）

∵以线段为直径的圆与直线切于点
∴过点作的垂线交抛物线于一点，则此点必为点. 
过点作轴于点， 可证Rt△PEB∽Rt△BOC
∴，故EB=3PE，……………………………………………………6分
设，
∵B（1，0）
∴BE=1-x，PE=
，
解得（不合题意舍去），  
∴P点的坐标为： .………………………………………………7分