Question

（2010•莱芜）在□ABCD中，AC、BD交于点O，过点O作直线EF、GH，分别交平行四边形的四条边于E、G、F、H四点，连接EG、GF、FH、HE．

（1）如图①，试判断四边形EGFH的形状，并说明理由；
（2）如图②，当EF⊥GH时，四边形EGFH的形状是______；
（3）如图③，在（2）的条件下，若AC=BD，四边形EGFH的形状是______；
（4）如图④，在（3）的条件下，若AC⊥BD，试判断四边形EGFH的形状，并说明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）由于平行四边形对角线的交点是它的对称中心，即可得出OE=OF、OG=OH；根据对角线互相平分的四边形是平行四边形即可判断出EGFH的性质；
（2）当EF⊥GH时，平行四边形EGFH的对角线互相垂直平分，故四边形EGFH是菱形；
（3）当AC=BD时，对四边形EGFH的形状不会产生影响，故结论同（2）；
（4）当AC=BD且AC⊥BD时，四边形ABCD是正方形，则对角线相等且互相垂直平分；可通过证△BOG≌△COF，得OG=OF，从而证得菱形的对角线相等，根据对角线相等的菱形是正方形即可判断出EGFH的形状．
解答：解：（1）四边形EGFH是平行四边形；（1分）
证明：∵?ABCD的对角线AC、BD交于点O，
∴点O是?ABCD的对称中心；
∴EO=FO，GO=HO；
∴四边形EGFH是平行四边形；（3分）

（2）∵四边形EGFH是平行四边形，EF⊥GH，
∴四边形EGFH是菱形；（1分）

（3）菱形；（1分）

（4）四边形EGFH是正方形；（1分）
证明：∵AC=BD，
∴?ABCD是矩形；
又∵AC⊥BD，
∴?ABCD是正方形，
∴∠BOC=90°，∠GBO=∠FCO=45°，OB=OC；
∵EF⊥GH，
∴∠GOF=90°；
∴∠BOG=∠COF；
∴△BOG≌△COF（ASA）；
∴OG=OF，∴GH=EF；（2分）
由（3）知四边形EGFH是菱形，
又EF=GH，
∴四边形EGFH是正方形．（1分）
点评：此题主要考查了平行四边形、菱形、矩形、正方形的判定和性质以及全等三角形的判定和性质；熟练掌握各特殊四边形的联系和区别是解答此类题目的关键．