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在锐角△ABC中,a、b、c分别表示为∠A、∠B、∠C的对边,O为其外心,则O点到三边的距离之比为(  )
A、a:b:c
B、
1
a
1
b
1
c
C、cosA:cosB:cosC
D、sinA:sinB:sinC
分析:此题可分别过三角形的三个顶点作⊙O的直径,在构建的直角三角形中,根据圆周角定理和三角形中位线定理来求得三条弦心距的比例关系.
解答:精英家教网解:如图,过A作⊙O的直径AG,连接BG,设⊙O的半径为R;
∵AG是⊙O的直径,
∴∠ABG=90°;
∵OD⊥AB,
∴OD∥BG;
又∵O是AG的中点,
∴OD是△ABG的中位线,即BG=2OD;
Rt△ABG中,∠G=∠C,
∴BG=AG•cosG=2R•cosC;
∴OD=R•cosC,即O到AB边的距离为R•cosC;
同理可证得:OE=R•cosA,OF=R•cosB;
∴点O到三边的距离之比为:(R•cosA):(R•cosB):(R•cosC)=cosA:cosB:cosC;
故选C.
点评:此题主要考查了三角形的外接圆、圆周角定理、三角形中位线定理、解直角三角形等知识的综合应用;能够正确的构建出与所求相关的直角三角形是解答此题的关键.
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2
DE中,一定正确的有(  )

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(2013•南开区一模)在锐角△ABC中,∠BAC=60°,BD、CE为高,F是BC的中点,连接DE、EF、FD,则以下结论中一定正确的个数有(  )
①EF=FD;②AD:AB=AE:AC;③△DEF是等边三角形.

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在锐角△ABC中,已知
cosA-
1
2
+|tanB-
3
|=0
,且AB=4,则△ABC的面积等于(  )

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