Question

【题目】如图，在平面直角坐标系中，四边形OABC是边长为2的正方形，二次函数y＝﹣x2+bx+c的图象经过A、E两点，且点E的坐标为（﹣，0），以0C为直径作半圆，圆心为D．

（1）求二次函数的解析式；

（2）求证：直线BE是⊙D的切线；

（3）若直线BE与抛物线的对称轴交点为P，M是线段CB上的一个动点（点M与点B，C不重合），过点M作MN∥BE交x轴与点N，连结PM，PN，设CM的长为t，△PMN的面积为S，求S与t的函数关系式，并写出自变量t的取值范围．S是否存在着最大值？若存在，求出最大值；若不存在，请说明理由．

Answer 1

【答案】（1）；（2）见解析；（3），S存在最大值，当t＝1时，S最大＝.

【解析】

（1）利用待定系数法，根据题意易得点A、B的坐标，然后把点A、B、E的坐标分别代入二次函数解析式，列出关于a、b、c的方程组，利用三元一次方程组来求得系数的值；

（2）过点D作DG⊥BE于点G，构建相似三角形△EGD∽△ECB，根据它的对应边成比例得DG的值，利用待定系数法求得直线BE的解析式，由此求得DG＝1（圆的半径是1），则易证得结论；

（3）由（2）中可求得点P的坐标，由相似三角形△MNC∽△BEC的对应边成比例，线段间的和差关系得到CN、DN的值，由题可得S＝S△PND＋S梯形PDCMS△MNC，再结合抛物线的性质可求得S的最值．

解：（1）由题意，得A（0，2），点B（2，2），E的坐标为（，0）

则，解得

故二次函数的解析式为：;

（2）如图1，过点D作DG⊥BE于点G，

由题意，得

ED＝，EC＝，BC＝2

∴BE＝

∵∠BEC＝∠DEG，∠EGD＝∠ECB＝90°

∴△EGD∽△ECB

∴，

∴DG＝1

∵圆D的半径为1，且DG⊥BE

∴BE是圆D的切线

（3）如图2，过点M作MN∥BE交x轴与点N，连结PM，PN，

依题意，得，点B（2，2），E的坐标为（，0），

故设直线BE为y＝kx+h（k≠0）

则有，解得，

∴直线BE为：

∵直线BE与抛物线的对称轴交点为P，对称轴为x＝1

∴点P的纵坐标为y＝，即P（1，）

∵MN∥BE

∴∠MNC＝∠BEC

∵∠MCN＝∠BCE＝90°

∴△MNC∽△BEC

∴

∴，即，

∴,

∴S△PND＝

S△MNC＝

S梯形PDCM＝

∴S＝S△PND+S梯形PDCM﹣S△MNC＝（0＜t＜2）

∵抛物线S＝（0＜t＜2）的开口方向向下

∴S存在最大值，当t＝1时，S最大＝.