Question

11．如图，已知⊙O为△ABC的内切圆，D、E、F为切点，P是异于E、F的⊙O上一动点，若∠A+∠C=130°，则∠EPF等于65°或115°．

Answer 1

分析 有两种情况：①当P在优弧EDF上时，连接OE、OF，求出∠EOF，根据圆周角定理求出即可；②当P在劣弧EMF上时，根据圆内接四边形的性质得到∠EPF+∠EDF=180°，代入求出即可．

解答 解：连接OE、OF、ED、FD，
∵⊙O为△ABC的内切圆，D、E、F为切点，
∴∠BEO=∠BFO=90°，
∵∠A+∠C=130°，
∴∠B=50°，
∴∠EOF=130°，∠EDF=$\frac{1}{2}$∠EOF=65°，
有两种情况：
①当P在优弧EDF上时，∠EPF=∠EDF=65°，
②当P在劣弧EMF上时，∠EPF+∠EDF=180°，
∠FPE=180°-65°=115°．
故答案为：65°或115°．

点评 本题主要考查了多边形的内角和定理，三角形的内切圆与内心，圆周角定理等知识点的理解和掌握，能综合运用性质进行推理是解此题的关键．