Question

8．细心观察图形，认真分析各式，然后解答问题．
OA₂²=（$\sqrt{1}$）²+1=2，s₁=$\frac{\sqrt{1}}{2}$；OA₃²=1²+（$\sqrt{2}$）²=3，S₂=$\frac{\sqrt{2}}{2}$；…
OA₄²=1²+（$\sqrt{3}$）²=4，S₃=$\frac{\sqrt{3}}{2}$；…
（1）请用含有n（n为正整数）的等式表示上述变化规律：OA_n²=n，S_n=$\frac{\sqrt{n}}{2}$．
（2）若一个三角形的面积是2$\sqrt{2}$，计算说明它是第几个三角形？
（3）求出S₁²+S₂²+S₃²+…+S₉²的值．

Answer 1

分析 （1）由勾股定理及直角三角形的面积求解（2）利用（1）的规律代入S_n=2$\sqrt{2}$求出n即可．（3）算出第一到第九个三角形的面积后求和即可．

解答 解：（1）因为每一个三角形都是直角三角形，由勾股定理可求得：OA₁=$\sqrt{1}$，OA₂=$\sqrt{2}$，OA₃=$\sqrt{3}$…OA_n=$\sqrt{n}$，所以OA_n²=n．S_n=$\frac{1}{2}$•1•$\sqrt{n}$=$\frac{\sqrt{n}}{2}$故：答案为n 与$\frac{\sqrt{n}}{2}$
（2）当S_n=2$\sqrt{2}$时，有：2$\sqrt{2}$=$\frac{\sqrt{n}}{2}$，解之得：n=32
即：说明它是第32个三角形．
（3）S₁²+S₂²+S₃²+…+S₉²
=$\frac{1}{4}$+$\frac{2}{4}$+…+$\frac{9}{4}$
=$\frac{50}{4}$=12.5
即：S₁²+S₂²+S₃²+…+S₉²的值为12.5

点评 本题考查了勾股定理以及二次根式的应用，解题的关键是看清楚相邻两个三角形的各个边之间的关系．