Question

（2010•十堰）如图，已知⊙O₁与⊙O₂都过点A，AO₁是⊙O₂的切线，⊙O₁交O₁O₂于点B，连接AB并延长交⊙O₂于点C，连接O₂C．
（1）求证：O₂C⊥O₁O₂；
（2）证明：AB•BC=2O₂B•BO₁；
（3）如果AB•BC=12，O₂C=4，求AO₁的长．

Answer 1

【答案】分析：（1）⊙O₁与⊙O₂都过点A，AO₁是⊙O₂的切线，可证O₁A⊥AO₂，又O₂A=O₂C，O₁A=O₁B可证O₂C⊥O₂B，故可证．
（2）延长O₂O₁交⊙O₁于点D连接AD，可证∠BAD=∠BO₂C，又因为∠ABD=∠O₂BC，三角形相似，进而证明出结论．
（3）由（2）证可知∠D=∠C=∠O₂AB，即∠D=∠O₂AB，又∠AO₂B=∠DO₂A，三角形相似，列出比例式，进而求出AO₁的长．
解答：（1）证明：∵O₁A为⊙O₂的切线，
∴∠O₁AB+∠BAO₂=90°，
又∵AO₂=O₂C，
∴∠BAO₂=∠C，
又∵AO₁=BO₁，
∴∠O₁AB=∠ABO₁=∠CBO₂，
∴∠CBO₂+∠C=90°，
∴∠BO₂C=90°，
∴O₂C⊥O₁O₂；

（2）证明：延长O₂O₁交⊙O₁于点D，连接AD．
∵BD是⊙O₁直径，
∴∠BAD=90°．
又由（1）可知∠BO₂C=90°，
∴∠BAD=∠BO₂C，
又∵∠ABD=∠O₂BC，
∴△O₂BC∽△ABD，
，
∴AB•BC=O₂B•BD，
又∵BD=2BO₁，
∴AB•BC=2O₂B•BO₁．

（3）解：由（2）证可知∠D=∠C=∠O₂AB，即∠D=∠O₂AB，
又∵∠AO₂B=∠DO₂A，
∴△AO₂B∽△DO₂A，
，
∴（AO₂）²=O₂B•O₂D，
∵O₂C=O₂A，
∴（O₂C）²=O₂B•O₂D①，
又由（2）AB•BC=O₂B•BD②，
由①-②得O₂C²-AB•BC=O₂B²即4²-12=O₂B²，
∴O₂B=2，
又∵O₂B•BD=AB•BC=12，
∴BD=6，
∴2AO₁=BD=6，
∴AO₁=3．
点评：本题主要考查切线的性质和相似三角形的判定，此题比较繁琐，做题时应该细心．