已知.△ABC满足BC=AB.∠ABC=90°.A点在x轴的负半轴上.直角顶点B在y轴上.点C在x轴上方．(1)如图1所示.若A的坐标是.点B与原点重合.则点C的坐标是(0.3),(2)如图2.过点C作CD⊥y轴于D.请判断线段OA.OD.CD之间的数量关系并说明理由,(3)如图3.若x轴恰好平分∠BAC.BC与x轴交于点E.过点C作CF⊥x轴于点F.问CF与AE有怎样的数量关� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

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15．已知，△ABC满足BC=AB，∠ABC=90°，A点在x轴的负半轴上，直角顶点B在y轴上，点C在x轴上方．
（1）如图1所示，若A的坐标是（-3，0），点B与原点重合，则点C的坐标是（0，3）；
（2）如图2，过点C作CD⊥y轴于D，请判断线段OA、OD、CD之间的数量关系并说明理由；
（3）如图3，若x轴恰好平分∠BAC，BC与x轴交于点E，过点C作CF⊥x轴于点F，问CF与AE有怎样的数量关系？并说明理由．

分析（1）根据点A（-3，0）、BC=BA可得点C坐标；
（2）OA=OD+CD；证明△ABO≌△BCD，得到BO=CD，OA=DB，即可解答；
（3）AE=2CF，如图3，延长CF，AB相交于G，证明△AFC≌△AFG，得到CF=GF，再证明△ABE≌△CBG，得到AE=CG，即可解答．

解答解：（1）∵BC=AB，且A的坐标是（-3，0），
∴BC=BA=3，
∴点C的坐标为（0，3），
故答案为：（0，3）；

（2）OA=OD+CD；
∵CD⊥y轴，
∴∠CDB=90°，∠DCB+∠CBD=90°，
∵∠ABC=90°，
∴∠ABO+∠CBD=90°，
∴∠ABO=∠DCB，
在△ABO和△BCD中，
∵$\left\{\begin{array}{l}{∠ABO=∠DCB}\\{∠AOB=∠BDC=90°}\\{AB=CB}\end{array}\right.$
∴△ABO≌△BCD，
∴BO=CD，OA=DB，
∵BD=OB+OD，
∴OA=CD+OD．

（3）AE=2CF，
如图3，延长CF，AB相交于G，

∵x轴恰好平分∠BAC，
∴∠CAF=∠GAF，
∵CF⊥x轴，
∴∠AFE=∠AFG=90°，
在△AFC和△AFG中，
∵$\left\{\begin{array}{l}{∠CAF=∠GAF}\\{AF=AF}\\{∠AFC=∠AFG}\end{array}\right.$，
∴△AFC≌△AFG，
∴CF=GF，
∵∠AEB=∠CEF，∠ABE=∠CFE=90°，
∴∠BAE=∠BCG，
在△ABE和△CBG中，
∵$\left\{\begin{array}{l}{∠BAO=∠BCG}\\{AB=CB}\\{∠ABE=∠CBG}\end{array}\right.$，
∴△ABE≌△CBG，
∴AE=CG，
∴AE=CF+GF=2CF

点评本题考查了全等三角形的性质定理与判定定理，解决本题的关键是证明三角形全等，并利用全等三角形的性质得到相等的线段．

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