Question

15．如图，已知在矩形ABCD中，AE⊥BD于点E，对角线AC，BD相交于点O，且BE：ED=1：3，AB=6cm，则AC的长度是多少？

Answer 1

分析 由矩形的性质和已知条件可证明△ABE∽△DBA，利用相似三角形的性质：对应边的比值相等解答即可．

解答 解：设BE=x，则ED=3x，
∵AE⊥BD于点E，
∴∠ABE+∠BAE=90°，
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠BAD=90°，
∴∠ABD+∠ADB=90°，
∴∠BAE=∠ADE，
∵∠AEB=∠AED，
∴△ABE∽△DBA，
∴BE：AB=AB：BD，
∴AB²=BE×BD，
即36=x（x+3x），
解得x=3，
∴BD=3×（1+3）=12，
∵四边形ABCD是矩形，
∴AC=BD=12．

点评 本题考查了矩形的性质以及相似三角形的判定与性质，熟练掌握在直角三角形中，斜边上的高是两直角边在斜边上射影的比例中项，每一条直角边是这条直角边在斜边上的射影和斜边的比例中项是解题的关键．