Question

13．（1）已知：如图，E、F、G、H分别是菱形ABCD的各边上与顶点均不重合的点，且AE=CF=CG=AH．
求证：四边形EFGH是矩形．
（2）已知：E、F、G、H分别是菱形ABCD的边AB、BC、CD、AD上与顶点均不重合的点，且四边形EFGH是矩形．AE与AH相等吗？如果相等，请说明理由；如果不相等，请举反例进行说明．

Answer 1

分析 （1）首先利用菱形的性质得到∠A=∠C，∠B=∠D，AB=BC=CD=DA，然后根据AE=AH=CF=CG，得到BE=BF=DH=DG，从而证得△AEH≌△CGF，△BEF≌△DGH，证得四边形EFGH是平行四边形，然后利用有一个角是直角的平行四边形是矩形判定四边形EFGH是矩形．
（2）如图，m、n是经过菱形对角线交点且与对边垂直的2条直线，由于四边形EFGH是矩形，显然，AE与AH不相等．

解答 （1）证明：∵四边形ABCD是菱形，
∴∠A=∠C，∠B=∠D，AB=BC=CD=DA
∵AE=AH=CF=CG，
∴BE=BF=DH=DG，
在△AEH与△CGF中，
$\left\{\begin{array}{l}{AE=CG}\\{∠BAD=∠BCD}\\{AH=CF}\end{array}\right.$．
∴△AEH≌△CGF，
同理△BEF≌△DGH，
∴EH=FG，EF=GH，
∴四边形EFGH是平行四边形，
∵∠A+∠D=180°，
∴∠AHE+∠DHG=90°，
∴∠EHG=90°，
∴四边形EFGH是矩形；
（2）如图，m、n是经过菱形对角线交点且与对边垂直的2条直线，交AB于P，交AD于Q，
由（1）知，△AEH≌△CGF，△BEF≌△DGH，显然，AE与AH不相等．
故AE和AH不一定相等．

点评 本题考查了菱形的性质，全等三角形的判定和性质，矩形的判定和性质，牢固掌握定理是解题的关键．