Question

8．如图，在平面直角坐标系中，△ABC的边BC在x轴上，顶点A在y轴的正半轴上，OA=2，OB=1，OC=4．
（1）求过A、B、C三点的抛物线的解析式；
（2）设点M是x轴上的动点，试问：在平面直角坐标系中，是否存在点N，使得以点A，B，M，N为顶点的四边形是菱形？若存在，直接写出点N的坐标；若不存在，说明理由；
（3）若抛物线对称轴交x轴于点P，在平面直角坐标系中，是否存在点Q，使△PAQ是以PA为腰的等腰直角三角形？若存在，写出所有符合条件的点Q的坐标，选择一种情况加以说明；若不存在，说明理由．

Answer 1

分析 （1）设抛物线的解析式为y=ax²+bx+c．将点A、B、C的坐标代入得到关于a、b、c的方程，从而可求得a、b、c的值；
（2）分为AB为菱形的边和AB为菱形的对角共可画出4种不同的图形，然后依据菱形对边平行，对角线互相平分的性质确定出点N的坐标即可；
（3）如图5所示：分别以点A和点P为直角的顶点作出等腰直角△APQ，然后由抛物线的对称轴方程求得点P的坐标，过点Q₁作Q₁M⊥x轴，垂足为M．
然后证明△AOP≌△PMQ₁，由全等三角形的性质可求得Q₁M=0P=$\frac{3}{2}$，PM=OA=2，于是可求得点Q₁的坐标．

解答 解：（1）由题意可知；A（0，2）、B（-1，0）、C（4，0）．
设过A、B、C三点的抛物线的解析式为y=ax²+bx+c．则$\left\{\begin{array}{l}{c=2}\\{a-b+c=0}\\{16a+4b+c=0}\end{array}\right.$，解得：$\left\{\begin{array}{l}{a=-\frac{1}{2}}\\{b=\frac{3}{2}}\\{c=2}\end{array}\right.$．
所以抛物线的解析式为y=-$\frac{1}{2}$x²+$\frac{3}{2}$x+2．
（2）如图1所示：
∵四边形ABNM为菱形，
∴OA=ON．
∴点N的坐标为（0，-2）．

如图2所示：

由勾股定理可知：AB=$\sqrt{O{B}^{2}+O{A}^{2}}$=$\sqrt{5}$．
∵四边形ABMN为菱形，
∴NA∥BM，AN=AB，
∴点N的坐标为（-$\sqrt{5}$，2）．
如图3所示；

∵四边形ABMN为菱形，
∴NA∥BM，AN=AB．
∴点N的坐标为（$\sqrt{5}$，2）．
如图4所示：

∵四边形ABMN为菱形，
∴NA∥BM，AN=NB．
设点N的坐标为（x，2）．由两点间的距离公式可知：（x+1）²+2²=x²．
解得：x=-2.5．
∴点N的坐标为（-2.5，2）．
∴点N的坐标为（0，-2），（$\sqrt{5}$，2），（-$\sqrt{5}$，2），（-2.5，2）．
（3）如图5所示：

使△PAQ是以PA为腰的等腰直角三角形的所有符合条件的点Q的坐标为Q₁（$\frac{7}{2}$，$\frac{3}{2}$），Q₂（-$\frac{1}{2}$，-$\frac{3}{2}$），Q₃（2，$\frac{7}{2}$），Q₄（-2，$\frac{1}{2}$）．
说明Q₁：过点Q₁作Q₁M⊥x轴，垂足为M．
∵x=-$\frac{b}{2a}$=$\frac{3}{2}$，
∴P（$\frac{3}{2}$，0）．
∴OP=$\frac{3}{2}$．
由题意得；∠APQ₁=90°，PA=PQ₁．
∴∠OPA+∠CPQ₁=90°．
∵∠APO+∠OAP=90°，
∴∠OAP=∠MPQ₁．
在△AOP和△PMQ₁中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠AOP=∠{Q}_{1}MP}\\{∠OAP=∠MP{Q}_{1}}\\{AP=P{Q}_{1}}\end{array}\right.$，
∴△AOP≌△PMQ₁．
∴Q₁M=0P=$\frac{3}{2}$，PM=OA=2
∴OM=OP+PM=$\frac{3}{2}$+2=$\frac{7}{2}$．
∴点Q₁的坐标为（$\frac{3}{2}$，$\frac{7}{2}$）．

点评 本题主要考查的是二次函数的综合应用，解答本题主要应用了菱形的性质、等腰直角三角形的性质，全等三角形的性质和判定，根据题意画出符合题意的图形是解题的关键．