Question

17．已知直线AB分别交x，y轴于A（4，0），B两点，C（-4，a）为直线y=-x与直线AB的公共点．

（1）求点B的坐标；
（2）已知动点M在直线y=x+6上，是否存在点M，使得S_△OMB=S_△OMA，若存在，求出点M的坐标，若不存在，说明理由；
（3）点P，Q分别是x轴，y轴正半轴上一动点，Q在点B上方，且OP=BQ，QH是∠OQP的角平分线，交直线CD于H，求PQ-$\sqrt{2}$OH的值．

Answer 1

分析 （1）由点C在直线y=-x上可得出a的值，从而得出C点的坐标，设直线AB的解析式为y=kx+b，代入A、C点的坐标，由待定系数法即可求出直线AB的解析式，令x=0即可求出点B的坐标；
（2）假设存在，设点M的坐标为（m，m+6）．由O、A、B、M点的坐标结合三角形的面积公式即可找出关于m的一元一次方程，解方程即可求出m的值，代入M点的坐标中即可得出结论；
（3）设点H（t，-t），P（a，0），QH与x轴的交点为M，如图所示，作HN⊥y轴于N，HF⊥PQ于F，HM⊥x轴于M．则HN=HM=HF．△QHN≌△QHF，四边形OMHN是正方形，边长为t，由QN=QF，推出2+a+t=PQ+（a-t），推出PQ-2t=2，由OH=$\sqrt{2}$t，推出$\sqrt{2}$OH=2t，推出PQ-$\sqrt{2}$t=2．

解答 解：（1）∵点C（-4，a）为直线y=-x上一点，
∴a=-1×（-4）=4，
∴点C（-4，4）．
设直线AB的解析式为y=kx+b，
将A、C坐标分别代入直线AB的解析式得：
$\left\{\begin{array}{l}{4k+b=0}\\{-4k+b=4}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{k=-\frac{1}{2}}\\{b=2}\end{array}\right.$，
∴直线AB的解析式为y=-$\frac{1}{2}$x+2，
令x=0时，y=2，
∴点B的坐标为（0，2）．

（2）假设存在，设点M的坐标为（m，m+6）．
∵点A（4，0）、点B（0，2）、点M（m，m+6），
∴OA=4，OB=2，|M_x|=|m|，|M_y|=|m+6|，
∴S_△OMA=$\frac{1}{2}$OA•|M_y|=2|m+6|；
S_△OMB=$\frac{1}{2}$OB•|M_x|=|m|．
∵S_△OMB=S_△OMA，
∴2|m+6|=|m|，
∴2（m+6）=m或2（m+6）=-m，
解得：m₁=-12，m₂=-4．
∵-12+6=-6，-4+6=2，
∴M点的坐标为（-12，-6）或（-4，2）．
故动点M在直线y=x+6上，存在点M使得S_△OMB=S_△OMA，点M的坐标为（-12，-6）或（-4，2）．

（3）设点H（t，-t），P（a，0），QH与x轴的交点为M，如图所示，作HN⊥y轴于N，HF⊥PQ于F，HM⊥x轴于M．
则HN=HM=HF．△QHN≌△QHF，四边形OMHN是正方形，边长为t，

∴QN=QF，
∴2+a+t=PQ+（a-t），
∴PQ-2t=2，∵OH=$\sqrt{2}$t，
∴$\sqrt{2}$OH=2t，
∴PQ-$\sqrt{2}$OH=2．

点评 本题考查了待定系数法求函数解析式、三角形的面积公式、角平分线的性质以及勾股定理，解题的关键是：（1）待定系数法求函数解析式；（2）根据三角形的面积相等得出关于m的一元一次方程；（3）通过角平分线的性质以添加辅助线，构造全等三角形解决问题，