【题目】如图,在平面直角坐标系中,直线AB与x轴交于点B,与y轴交于点A,与反比例函数y= 的图象在第二象限交于点C,CE⊥x轴,垂足为点E,tan∠ABO= ,OB=4,OE=2.
(1)求反比例函数的解析式;
(2)若点D是反比例函数图象在第四象限上的点,过点D作DF⊥y轴,垂足为点F,连接OD、BF.如果S△BAF=4S△DFO , 求点D的坐标.
【答案】
(1)
解:∵OB=4,OE=2,
∴BE=OB+OE=6.
∵CE⊥x轴,
∴∠CEB=90°.
在Rt△BEC中,∠CEB=90°,BE=6,tan∠ABO= ,
∴CE=BEtan∠ABO=6× =3,
结合函数图象可知点C的坐标为(﹣2,3).
∵点C在反比例函数y= 的图象上,
∴m=﹣2×3=﹣6,
∴反比例函数的解析式为y=﹣ .
(2)
解:∵点D在反比例函数y=﹣ 第四象限的图象上,
∴设点D的坐标为(n,﹣ )(n>0).
在Rt△AOB中,∠AOB=90°,OB=4,tan∠ABO= ,
∴OA=OBtan∠ABO=4× =2.
∵S△BAF= AFOB= (OA+OF)OB= (2+ )×4=4+ .
∵点D在反比例函数y=﹣ 第四象限的图象上,
∴S△DFO= ×|﹣6|=3.
∵S△BAF=4S△DFO,
∴4+ =4×3,
解得:n= ,
经验证,n= 是分式方程4+ =4×3的解,
∴点D的坐标为( ,﹣4).
【解析】本题考查了解直角三角形、反比例函数图象上点的坐标特征、三角形的面积公式以及反比例函数系数k的几何意义,解题的关键是:(1)求出点C的坐标;(2) 根据三角形的面积间的关系找出关于n的分式方程.本题属于中档题,难度不大,但较繁琐,解决该题型题目时,找出点的坐标,再利用反比例函数图象上点的坐标 特征求出反比例函数系数是关键.(1)由边的关系可得出BE=6,通过解直角三角形可得出CE=3,结合函数图象即可得出点C的坐标,再根据点C的坐标利用反比例函数图象上点的坐标特征,即可求出反比例函数系数m,由此即可得出结论;(2)由点D在反比例函数在第四象限的图象上,设出点D的坐标为(n,﹣ )(n>0).通过解直角三角形求出线段OA的长度,再利用三角形的面积公式利用含n的代数式表示出S△BAF , 根据点D在反比例函数图形上利用反比例函数系数k的几何意义即可得出S△DFO的值,结合题意给出的两三角形的面积间的关系即可得出关于n的分式方程,解方程,即可得出n值,从而得出点D的坐标.
【考点精析】本题主要考查了比例系数k的几何意义的相关知识点,需要掌握几何意义:表示反比例函数图像上的点向两坐标轴所作的垂线段与两坐标轴围成的矩形的面积才能正确解答此题.
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【题目】点E为正方形ABCD边BC上的一点,点G为BC延长线一点,连接AE,过点E作AE⊥EF,且AE=EF,连接CF.
(1)如图1,求证:∠FCG=45°,
(2)如图2,过点D作DH//EF交AB于点H,连接HE,求证:;
(3)如图3,连接AF、DF,若AF交CD于点M,DM=2,BH=3,求DF的长.
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【题目】如图所示,点O是等边三角形ABC的中心,射线OE交AB边于点E,OF交BC边于点F,若△ABC的面积为S,∠EOF=120°,则当∠EOF绕点O旋转时,得到的阴影面积发生变化吗?下面有三名同学提出了各自的观点.
甲:阴影部分的面积会发生变化,且当OE,OF分别与△ABC的边垂直时,阴影部分的面积最小.
乙:阴影部分的面积会发生变化,且当E,F分别与△ABC的顶点重合时,阴影部分的面积最大.
丙:无论怎样旋转,阴影部分的面积都保持不变.
你支持谁的观点?____________.
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【题目】雾霾天气持续笼罩我国大部分地区,困扰着广大市民的生活,口罩市场出现热销,小明的爸爸用12000元购进甲、乙两种型号的口罩在自家商店销售,销售完后共获利2700元,进价和售价如表:
(1)小明爸爸的商店购进甲、乙两种型号口罩各多少袋?
(2)该商店第二次以原价购进甲、乙两种型号口罩,购进甲种型号口罩袋数不变,而购进乙种型号口罩袋数是第一次的2倍,甲种口罩按原售价出售,而效果更好的乙种口罩打折让利销售,若两种型号的口罩全部售完,要使第二次销售活动获利不少于2460元,每袋乙种型号的口罩最多打几折?
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【题目】一方有难八方支援,某市政府筹集了抗旱必需物资120吨打算运往灾区,现有甲、乙、丙三种车型供选择,每辆车的运载能力和运费如下表所示:(假设每辆车均满载)
(1)若全部物资都用甲、乙两种车型来运送,需运费8200元,问分别需甲、乙两种车型各几辆?
(2)为了节约运费,该市政府可以调用甲、乙、丙三种车型参与运送,已知它们的总辆数为 16辆,你能通过列方程组的方法分别求出几种车型的辆数吗?
(3)求出哪种方案的运费最省?最省是多少元?
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【题目】如图是潜望镜工作原理示意图,阴影部分是平行放置在潜望镜里的两面镜子.已知光线经过镜子反射时,有∠1=∠2,∠3=∠4,请解释进入潜望镜的光线l为什么和离开潜望镜的光线m是平行的?
请把下列解题过程补充完整.
理由:
因为AB∥CD,
根据“ ”,
所以∠2=∠3.
因为∠1=∠2,∠3=∠4,
所以∠1=∠2=∠3=∠4,
所以180°﹣∠1﹣∠2=180°﹣∠3﹣∠4,
即: .
根据“ ”,
所以l∥m.
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【题目】完成下面证明:
(1)如图1,已知直线b∥c,a⊥c,求证:a⊥b.
证明:∵a⊥c (已知)
∴∠1= (垂直定义)
∵b∥c (已知)
∴∠1=∠2 ( )
∴∠2=∠1=90° ( )
∴a⊥b ( )
(2)如图2:AB∥CD,∠B+∠D=180°,求证:CB∥DE.
证明:∵AB∥CD (已知)
∴∠B= ( )
∵∠B+∠D=180° (已知)
∴∠C+∠D=180° ( )
∴CB∥DE ( )
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