Question

15、如图1，在正方形ABCD中，E是AB上一点，F是AD延长线上一点，且DF=BE．
（1）求证：CE=CF；
（2）在图1中，若G在AD上，且∠GCE=45°，则GE=BE+GD成立吗？为什么？
（3）运用（1）（2）解答中所积累的经验和知识，完成下题：
如图2，在直角梯形ABCD中，AD∥BC（BC＞AD），∠B=90°，AB=BC=12，E是AB上一点，且∠DCE=45°，BE=4，求DE的长．

Answer 1

分析：（1）利用已知条件，可证出△BCE≌△DCF（SAS），即CE=CF．
（2）借助（1）的全等得出∠BCE=∠DCF，∴∠GCF=∠BCE+∠DCG=90°-∠GCE=45°，即∠GCF=∠GCE，又因为CE=CF，CG=CG，∴△ECG≌△FCG，∴EG=GF，∴GE=DF+GD=BE+GD．
（3）过C作CG⊥AD，交AD延长线于G，先证四边形ABCG是正方形（有一组邻边相等的矩形是正方形）．
再设DE=x，利用（1）、（2）的结论，在Rt△AED中利用勾股定理可求出DE．

解答：解：证明：（1）在正方形ABCD中，
∵BC=CD，∠B=∠CDF，BE=DF，
∴△CBE≌△CDF．
∴CE=CF．
（2）解：GE=BE+GD成立．
∵△CBE≌△CDF，
∴∠BCE=∠DCF．
∴∠ECD+∠ECB=∠ECD+∠FCD．
即∠ECF=∠BCD=90°．
又∠GCE=45°，
∴∠GCF=∠GCE=45°．
∵CE=CF，∠GCF=∠GCE，GC=GC，
∴△ECG≌△FCG．
∴EG=GF．
∴GE=DF+GD=BE+GD．

（3）解：过C作CG⊥AD，交AD延长线于G，
在直角梯形ABCD中，
∵AD∥BC，∠A=∠B=90°，
又∠CGA=90°，AB=BC，
∴四边形ABCG为正方形．
∴AG=BC=12．
已知∠DCE=45°，根据（1）（2）可知，ED=BE+DG，
设DE=x，则DG=x-4，
∴AD=AG-DG=16-x，AE=AB-BE=12-4=8．
在Rt△AED中
∵DE²=AD²+AE²，即x²=（16-x）²+8²
解得：x=10．
∴DE=10．

点评：本题是一道几何综合题，内容涉及三角形的全等、图形的旋转以及勾股定理的应用，重点考查学生的数学学习能力，是一道好题．本题的设计由浅入深，循序渐进，考虑到学生的个体差异．从阅卷的情况看，本题的得分在4-8分的学生居多．前两个小题学生做得较好，第三小题，因为学生不懂得用前面积累的知识经验答题，数学学习能力不强，造成本小题得分率较低．