Question

4．如图，在△ABC中，∠BAC=45°，AD⊥BC于点D，$\frac{BD}{DC}$=$\frac{2}{3}$，AD=6，将△ADB，△ADC分别沿AB，AC翻折得△ABE，△ACF，延长EB，FC相交于点G．
（1）求证：四边形AEGF为正方形；
（2）求△ABC的面积．

Answer 1

分析 （1）由折叠的性质得出AE=AD=AF，BE=BD，CF=CD，∠E=∠F=90°，∠BAE=∠BAD，∠CAF=∠CAD，证出∠EAF=90°，判定四边形AEGF是矩形，即可得出结论；
（2）由正方形的性质得出∠G=90°，GE=GF=AE=AD=6，设BD=2x，CD=3x，则BE=BD=2x，CF=CD=3x，BG=6-2x，CG=6-3x，在Rt△BCG中，由勾股定理得出方程，解方程求出BC的长，再由三角形面积公式即可得出答案．

解答 （1）证明：∵AD⊥BC，
∴∠ADB=∠ADC=90°；
由折叠可知，AE=AD=AF，BE=BD，CF=CD，∠E=∠F=90°，∠BAE=∠BAD，∠CAF=∠CAD，
∴∠BAE+∠CAF=∠BAD+∠CAD=∠BAC=45°；
∴∠EAF=∠BAE+∠CAF+∠BAC=90°；
∴四边形AEGF是矩形，
又∵AE=AF，
∴四边形AEGF是正方形；

（2）解：∵四边形AEGF是正方形，
∴∠G=90°，GE=GF=AE=AD=6，
∵$\frac{BD}{DC}$=$\frac{2}{3}$，
∴设BD=2x，CD=3x，
则BE=BD=2x，CF=CD=3x，BG=6-2x，CG=6-3x，
在Rt△BCG中，BG²+CG²=BC²，
∴（6-2x）²+（6-3x）²=（5x）²，
解得x₁=1，x₂=-6（不合题意，舍去），
∴BC=5，
∴△ABC的面积=$\frac{1}{2}$BC•AD=$\frac{1}{2}$×5×6=15，

点评 此题主要考查了折叠的性质、勾股定理、正方形的判定和性质等知识；熟练掌握折叠的性质和勾股定理是解决问题的关键．