Question

20．在△ABC中，AB=AC，点D在直线AB上，点E在直线BC上，且CD=DE．
（1）如图1，若△ABC=60°，寻找图中和AD相等的线段，并证明你的结论；
（2）如图2，若BE=mCE，探索线段DF、EF的数量关系，并证明；
（3）如图3，AB=n，∠ABC=α，DF=k•EF，直接写出BE的长（用含n、α、k的式子表示）．

Answer 1

分析 （1）过点D作DG∥AC，交BC的延长线于点G，如图1，易证△ABC和△DBG都是等边三角形，从而得到AD=CG，要证AD=BE，只需证CG=BE，即证BC=GE，只需证△BDC≌△GDE即可；
（2）过点D作DG∥AC，交BC的延长线于点G，如图2，易证△BDE≌△GDC，则有BE=GC，由BE=mCE可得GC=mCE，然后由FC∥DG根据平行线分线段成比例即可解决问题；
（3）过点D作DG∥AC，交BC的反向延长线于点G，如图3，易证△GDE≌△BDC，则有EG=CB，由DG∥AF根据平行线分线段成比例可得GC=k•EC，由此推出BE与BC的关系，过点A作AH⊥BC于H，运用等腰三角形的性质和三角函数可求出BC，问题得以解决．

解答 解：（1）AD=BE．
理由：过点D作DG∥AC，交BC的延长线于点G，如图1，
则有∠ACB=∠DGB．
∵∠ABC=60°，AB=AC，
∴△ABC是等边三角形，
∴AB=AC=BC，∠ACB=60°．
∴∠DGB=∠ACB=∠ABC=60°，
∴△DBG是等边三角形，
∴DB=DG=BG，
∴AD=BD-AB=BG-BC=CG．
∵DC=DE，
∴∠DCE=∠DEC，
∴∠BDC=∠DCE-∠ABC=∠DEC-∠DGB=∠GDE．
在△BDC和△GDE中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠BDC=∠GDE}\\{∠DBC=∠DGE}\\{DC=DE}\end{array}\right.$，
∴△BDC≌△GDE，
∴BC=GE，
∴BE=CG，
∴AD=BE；

（2）DF=mEF．
理由：过点D作DG∥AC，交BC的延长线于点G，如图2，
则有∠ACB=∠DGB．
∵AB=AC，
∴∠ABC=∠ACB．
∴∠DGB=∠ABC．
∵DC=DE，
∴∠DEC=∠DCE，
∴∠BDE=∠DEC-∠ABC=∠DCE-∠DGB=∠GDC．
在△BDE和△GDC中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠BDE=∠GDC}\\{∠B=∠G}\\{DE=DC}\end{array}\right.$，
∴△BDE≌△GDC，
∴BE=GC．
∵BE=mCE，
∴GC=mCE．
∵FC∥DG，
∴$\frac{DF}{EF}$=$\frac{CG}{CE}$=m，
∴DF=mEF；

（3）BE=$\frac{2kncosα}{1-k}$．
理由：过点D作DG∥AC，交BC的反向延长线于点G，如图3，
则有∠ACB=∠DGB．
∵AB=AC，
∴∠ABC=∠ACB．
∴∠DGB=∠ABC=∠DBG．
∵DC=DE，
∴∠DEC=∠DCE，
∴∠GDE=∠DGB-∠DEC=∠DBG-∠DCE=∠BDC．
在△GDE和△BDC中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠GDE=∠BDC}\\{DE=DC}\\{∠DEG=∠DCB}\end{array}\right.$
∴△GDE≌△BDC，
∴EG=CB．
∵DG∥AF，
∴$\frac{GC}{EC}$=$\frac{DF}{EF}$．
∵DF=k•EF，
∴GC=k•EC，
∴EG=EC-GC=（1-k）EC，
∴BC=（1-k）EC，
∴EC=$\frac{BC}{1-k}$，
∴BE=EC-BC=$\frac{BC}{1-k}$-BC=$\frac{k}{1-k}$•BC．
过点A作AH⊥BC于H，
∵AB=AC，
∴BH=HC=$\frac{1}{2}$BC．
在Rt△AHB中，
∵cos∠ABH=$\frac{BH}{AB}$，∠ABH=α，AB=n，
∴BH=ncosα，
∴BC=2BH=2ncosα，
∴BE=$\frac{k}{1-k}$•BC=$\frac{2kncosα}{1-k}$．

点评 本题主要考查了等边三角形的判定与性质、平行线分线段成比例、全等三角形的判定与性质、等腰三角形的性质、三角函数、三角形外角的性质等知识，运用已有的经验解决问题是解决本题的关键．