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20.在△ABC中,AB=AC,点D在直线AB上,点E在直线BC上,且CD=DE.
(1)如图1,若△ABC=60°,寻找图中和AD相等的线段,并证明你的结论;
(2)如图2,若BE=mCE,探索线段DF、EF的数量关系,并证明;
(3)如图3,AB=n,∠ABC=α,DF=k•EF,直接写出BE的长(用含n、α、k的式子表示).

分析 (1)过点D作DG∥AC,交BC的延长线于点G,如图1,易证△ABC和△DBG都是等边三角形,从而得到AD=CG,要证AD=BE,只需证CG=BE,即证BC=GE,只需证△BDC≌△GDE即可;
(2)过点D作DG∥AC,交BC的延长线于点G,如图2,易证△BDE≌△GDC,则有BE=GC,由BE=mCE可得GC=mCE,然后由FC∥DG根据平行线分线段成比例即可解决问题;
(3)过点D作DG∥AC,交BC的反向延长线于点G,如图3,易证△GDE≌△BDC,则有EG=CB,由DG∥AF根据平行线分线段成比例可得GC=k•EC,由此推出BE与BC的关系,过点A作AH⊥BC于H,运用等腰三角形的性质和三角函数可求出BC,问题得以解决.

解答 解:(1)AD=BE.
理由:过点D作DG∥AC,交BC的延长线于点G,如图1,
则有∠ACB=∠DGB.
∵∠ABC=60°,AB=AC,
∴△ABC是等边三角形,
∴AB=AC=BC,∠ACB=60°.
∴∠DGB=∠ACB=∠ABC=60°,
∴△DBG是等边三角形,
∴DB=DG=BG,
∴AD=BD-AB=BG-BC=CG.
∵DC=DE,
∴∠DCE=∠DEC,
∴∠BDC=∠DCE-∠ABC=∠DEC-∠DGB=∠GDE.
在△BDC和△GDE中,
$\left\{\begin{array}{l}{∠BDC=∠GDE}\\{∠DBC=∠DGE}\\{DC=DE}\end{array}\right.$,
∴△BDC≌△GDE,
∴BC=GE,
∴BE=CG,
∴AD=BE;

(2)DF=mEF.
理由:过点D作DG∥AC,交BC的延长线于点G,如图2,
则有∠ACB=∠DGB.
∵AB=AC,
∴∠ABC=∠ACB.
∴∠DGB=∠ABC.
∵DC=DE,
∴∠DEC=∠DCE,
∴∠BDE=∠DEC-∠ABC=∠DCE-∠DGB=∠GDC.
在△BDE和△GDC中,
$\left\{\begin{array}{l}{∠BDE=∠GDC}\\{∠B=∠G}\\{DE=DC}\end{array}\right.$,
∴△BDE≌△GDC,
∴BE=GC.
∵BE=mCE,
∴GC=mCE.
∵FC∥DG,
∴$\frac{DF}{EF}$=$\frac{CG}{CE}$=m,
∴DF=mEF;

(3)BE=$\frac{2kncosα}{1-k}$.
理由:过点D作DG∥AC,交BC的反向延长线于点G,如图3,
则有∠ACB=∠DGB.
∵AB=AC,
∴∠ABC=∠ACB.
∴∠DGB=∠ABC=∠DBG.
∵DC=DE,
∴∠DEC=∠DCE,
∴∠GDE=∠DGB-∠DEC=∠DBG-∠DCE=∠BDC.
在△GDE和△BDC中,
$\left\{\begin{array}{l}{∠GDE=∠BDC}\\{DE=DC}\\{∠DEG=∠DCB}\end{array}\right.$
∴△GDE≌△BDC,
∴EG=CB.
∵DG∥AF,
∴$\frac{GC}{EC}$=$\frac{DF}{EF}$.
∵DF=k•EF,
∴GC=k•EC,
∴EG=EC-GC=(1-k)EC,
∴BC=(1-k)EC,
∴EC=$\frac{BC}{1-k}$,
∴BE=EC-BC=$\frac{BC}{1-k}$-BC=$\frac{k}{1-k}$•BC.
过点A作AH⊥BC于H,
∵AB=AC,
∴BH=HC=$\frac{1}{2}$BC.
在Rt△AHB中,
∵cos∠ABH=$\frac{BH}{AB}$,∠ABH=α,AB=n,
∴BH=ncosα,
∴BC=2BH=2ncosα,
∴BE=$\frac{k}{1-k}$•BC=$\frac{2kncosα}{1-k}$.

点评 本题主要考查了等边三角形的判定与性质、平行线分线段成比例、全等三角形的判定与性质、等腰三角形的性质、三角函数、三角形外角的性质等知识,运用已有的经验解决问题是解决本题的关键.

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