Question

已知：抛物线y=ax²+bx+c经过点O（0，0），A（7，4），且对称轴l与x轴交于点B（5，0）．
（1）求抛物线的表达式；
（2）如图，点E、F分别是y轴、对称轴l上的点，且四边形EOBF是矩形，点C(5，

5

2

)是BF上一点，将△BOC沿着直线OC翻折，B点与线段EF上的D点重合，求D点的坐标；
（3）在（2）的条件下，点G是对称轴l上的点，直线DG交CO于点H，S_△DOH：S_△DHC=1：4，求G点坐标．

Answer 1

分析：（1）利用待定系数法列方程组即可求出二次函数的系数，从而得到其解析式；
（2）根据翻折不变性，得到相等的线段和相等的角：BO=DO=5，CD=BC=

5

2

，∠OBC=∠ODC=90°，再根据互余关系，得到∠EOD=∠FDC，从而证出△EOD∽△FDC，再根据相似三角形的性质和矩形的性质列方程解答；
（3）过点H作HP⊥OB，根据等高的三角形面积比等于底的比，列出等式，求出OH与OC的比，从而得出D、H坐标，解出直线DG的表达，进而求出G点坐标．

解答：解：（1）由题意得

- b 2a =5 c=0 49a+7b+c=4

（1分），
解得

a=- 4 21 b= 40 21 c=0.

，
∴y=-

4

21

x2+

40

21

x．（3分）

（2）∵△BOC与△DOC重合，OB=5，BC=

5

2

，
∴BO=DO=5，CD=BC=

5

2

，∠OBC=∠ODC=90°，
∴∠EDO+∠FDC=90°，又∠EDO+∠EOD=90°，
∴∠EOD=∠FDC，
∵∠OED=∠DFC=90°，
∴△EOD∽△FDC，（2分）
∴

ED

FC

=

EO

DF

=

OD

CD

=

5

5 2

=2，（1分）
∵四边形OEFB是矩形，
∴EF=OB，EO=FB，
设FC=x，则ED=2x，DF=5-2x，
∴EO=10-4x，
∴10-4x=

5

2

+x，解，得x=

3

2

，
∴ED=3，EO=4，
∴D（3，4）．（1分）

（3）过点H作HP⊥OB，垂足为点P．
∵S_△DOH：S_△DHC=1：4，
∴

S△DOH

S△DHC

=

OH

HC

=

1

4

，（1分）
∵HP⊥OB，CB⊥OB，
∴HP∥BC，
∴

OH

OC

=

OP

OB

=

PH

BC

=

1

5

，
∴OP=1，PH=

1

2

，
∴H(1，

1

2

)，（1分）
∴经过点D（3，4），H(1，

1

2

)的直线DG的表达式为y=

7

4

x-

5

4

，（1分）
∴G(5，

15

2

)．（1分）

点评：本题主要考查了二次函数解析式的确定、翻折变换及三角形的面积等知识．主要考查学生数形结合的数学思想方法．