Question

【题目】如图，抛物线y=﹣x2+4x+5与x轴，y轴分别交于A，B，C三点．

（1）请直接写出A，B，C三点坐标：A（_____，_____）、B（_____，______）、C（______，______）

（2）若⊙M过A、B、C三点，求圆心M的坐标，并求⊙M的面积；

（3）在（2）的条件下，在抛物线上是否存在点N，使得由A，C，M，N四点构成的四边形为平行四边形？若存在，请求出点N的坐标，若不存在，请说明理由．

Answer 1

【答案】（1）（﹣1，0）、（5，0）、（0，5）；（2）M（2，2），13π；（3）不存在，理由见解析.

【解析】

（1）令y=-x2+4x+50，解一元二次方程，求出x的值，即可得到点A和点B的坐标，点x=0，求出y的值，即可得到点C的坐标；

（2）首先求出点M的坐标，再求出圆M的半径，即可求出圆的面积；

（3）假设存在点N，若四边形ACN1M为平行四边形，根据平移的知识求出点N的坐标，进而作出判断即可．

解：（1）令y=﹣x2+4x+5=0，

解得x1=﹣1，x2=5，

即点A坐标为（﹣1，0），点B坐标为（5，0），

令x=0，y=5，

即点C的坐标为（0，5），

故答案为（﹣1，0）、（5，0）、（0，5）；

（2）圆心再线段AB的垂直平分线上，

AB的垂直平分线为x=2，

圆心M再线段BC的垂直平分线上，

BC的垂直平分线为y=x，

∴M（2，2），

∴MB==，

∴⊙M的面积=13π；

（3）不存在，理由如下：

如图，假设存在点N，若四边形ACN1M为平行四边形，则MN1可以由AC平移得到，

由点A（﹣1，0）平移到M（2，2），

可知C（0，5）平移得到N1的坐标为（3，7），

将x=3代入y=﹣x2+4x+5，得到y=8，故N1（3，7）不在函数的图象上，

同理可得，N2（﹣3，3）；N3（1，﹣3），

将x=﹣3代入y=﹣x2+4x+5，得到y=﹣16，故N2（﹣3，3）不在函数的图象上，

将x=﹣1代入y=﹣x2+4x+5，得到y=8，故N3（1，﹣3）不在函数的图象上，

∴不存在抛物线上点，使得由ACMN四点构成的四边形为平行四边形．