Question

【题目】已知：线段CB=6，点A在线段BC上，且CA=2，以AB为直径做半圆O，点D为半圆O上的动点，以CD为边向外作等边△CDE．
（1）发现：CD的最小值是 ， 最大值是 ， △CBD面积的最大值是 ．
（2）思考：如图1，当线段CD所在直线与半圆O相切时，求弧BD的长．
（3）探究：如图2，当线段CD与半圆O有两个公共点D，M时，若CM=DM，求等边△CDE面积．

Answer 1

【答案】
（1）2；6；6
（2）解：连接OD，

∵线段CD所在直线与半圆O相切，

∴OD⊥CD，

∵OC=4，OD=2，

∴∠C=30°，

∴∠COD=60°，

∴∠BOD=120°，

∴弧BD的长为： = π

（3）解：∵CM=DM，

∴CD=2CM，

由切割线定理得，CMCD=CACB=12，

解得，CM= ，

则CD=2 ，

∴等边△CDE面积为： ×2 ×2 ×sin60°=6

【解析】解：（1）发现：当点D与点A重合时，CD最小，CD的最小值是2， 当点D与点B重合时，CD最大，CD的最大值是6，
当OD⊥CB时，CD最小，△CBD的面积最大，最大值为： ×6×2=6，
故答案为：2；6；6；
发现：根据圆的性质、三角形的面积公式计算；
思考：连接OD，根据切线的性质得到OD⊥CD，根据直角三角形的性质求出∠C，得到∠BOD，根据弧长公式计算即可；
探究：根据切割线定理求出CD，根据等边三角形的面积公式计算即可．