Question

11．如图，一次函数y=-$\sqrt{3}$x+2$\sqrt{3}$的图象交x轴于点A，交y轴于点B，点P在线段AB上（不与点A、B重合），过点P分别作OA和OB的垂线，垂足分别为C、D．
①点A坐标为（2，0），线段AB=4；
②当矩形OCPD的面积为$\frac{3}{4}$$\sqrt{3}$时，求P点的坐标．
③连接CD，当线段CD的长为最小时，求点P坐标，并求CD的最小值为多少？
④平面直角坐标系内，是否存在点M，使得点A，P，O，M为顶点的四边形为菱形？若存在，直接写出点M的坐标．

Answer 1

分析 ①根据一次函数图象上点的坐标特征即可得出点A、B的坐标，再根据两点间的距离公式即可求出线段AB的长度；
②由点P在线段AB上可设出点P的坐标，再利用矩形的面积公式找出S_矩形OCPD与x之间的函数关系式，代入S_矩形OCPD=$\frac{3}{4}\sqrt{3}$求出x值，将其代入点P坐标中即可得出结论；
③设出点P的坐标，利用勾股定理即可得出CD²关于x的函数关系式，利用配方法结合二次函数的性质即可解决最值问题；
④假设存在，根据菱形的性质可得出△AOP为等腰三角形，结合∠OAB的度数即可得出△AOP为等边三角形，进而可得出点P的坐标，再根据菱形的性质分别以AO、OP、AP为对角线找出点M的坐标，此题得解．

解答 解：①当y=0时，x=2，
∴A（2，0）；
当x=0时，y=2$\sqrt{3}$，
∴B（0，2$\sqrt{3}$）．
∴AB=$\sqrt{（0-2）^{2}+（2\sqrt{3}-0）^{2}}$=4．
故答案为：（2，0）；4．
②设点P的坐标为（x，-$\sqrt{3}$x+2$\sqrt{3}$）（0＜x＜2），
∴S_矩形OCPD=OC•OD=x•（-$\sqrt{3}$x+2$\sqrt{3}$）=-$\sqrt{3}$x²+2$\sqrt{3}$x．
当S_矩形OCPD=$\frac{3}{4}\sqrt{3}$时，有-$\sqrt{3}$x²+2$\sqrt{3}$x=$\frac{3}{4}\sqrt{3}$，
解得：x₁=$\frac{1}{2}$，x₂=$\frac{3}{2}$．
∴点P的坐标为（$\frac{1}{2}$，$\frac{3\sqrt{3}}{2}$）或（$\frac{3}{2}$，$\frac{\sqrt{3}}{2}$）．
③设点P的坐标为（x，-$\sqrt{3}$x+2$\sqrt{3}$）（0＜x＜2），
∵CD²=OC²+OD²=x²+$（-\sqrt{3}x+2\sqrt{3}）^{2}$=4$（x-\frac{3}{2}）^{2}$+3，
∴当x=$\frac{3}{2}$时，CD²取最小值，最小值为3．
故当点P的坐标为（$\frac{3}{2}$，$\frac{\sqrt{3}}{2}$）时，线段CD的长取最小值，最小值为$\sqrt{3}$．
④假设存在．
∵以点A，P，O，M为顶点的四边形为菱形，
∴△AOP为等腰三角形，
∵A（2，0），B（0，2$\sqrt{3}$），
∴∠OAP=60°，
∴△AOP为等边三角形．
∴点P为线段AB的中点，
∴点P（1，$\sqrt{3}$）．
以点A，P，O，M为顶点的四边形为菱形分三种情况（如图所示）：
（i）以线段AO为对角线时，
∵A（2，0），O（0，0），P（1，$\sqrt{3}$），
∴点M的坐标为（0+2-1，0+0-$\sqrt{3}$），即（1，-$\sqrt{3}$）；
（ii）以线段OP为对角线时，
∵A（2，0），O（0，0），P（1，$\sqrt{3}$），
∴点M的坐标为（0+1-2，0+$\sqrt{3}$-0），即（-1，$\sqrt{3}$）；
（iii）以线段AP为对角线时，
∵A（2，0），O（0，0），P（1，$\sqrt{3}$），
∴点M的坐标为（1+2-0，0+$\sqrt{3}$-0），即（3，$\sqrt{3}$）．

点评 本题考查了一次函数图象上点的坐标特征、两点间的距离公式、矩形的面积、二次函数的性质以及菱形的性质，解题的关键是：①根据一次函数图象上点的坐标特征找出点A、B的坐标；②利用矩形的面积公式找出S_矩形OCPD与x之间的函数关系式；③利用二次函数的性质解决最值问题；④分以AO、OP和AP为对角线三种情况考虑．本题属于中档题，难度不大，解决该题型题目时，根据一次函数图象上点的坐标特征找出点P的坐标是关键．