Question

2．如图，在平面直角坐标系中，点A、B的坐标分别为（4，0）、（0，2），点C为线段AB上任意一点（不与点A、B重合），CD⊥OA于点D，点E在DC的延长线上，EF⊥y轴于点F，若点C为DE的中点，则四边形ODEF的周长为（　　）

• A． 4
• B． 6
• C． 8
• D． 10

Answer 1

分析 设直线AB的解析式为y=kx+b，由A、B点的坐标利用待定系数法求出直线AB的解析式，由点C在直线AB上设出点C的坐标为（m，-$\frac{1}{2}$m+2），由点C为线段DE的中点可找出点E的坐标，从而找出线段OD、DE的长度，利用ED⊥OA，EF⊥y轴，BO⊥OA可得出∠O=∠F=∠ODE=90°，从而得出四边形ODEF为矩形，再根据矩形的周长公式即可得出结论．

解答 解：设直线AB的解析式为y=kx+b，
将点A（4，0）、点B（0，2）代入y=kx+b中，
得：$\left\{\begin{array}{l}{0=4k+b}\\{2=b}\end{array}\right.$，解得：$\left\{\begin{array}{l}{k=-\frac{1}{2}}\\{b=2}\end{array}\right.$．
∴直线AB的解析式为y=-$\frac{1}{2}$x+2．
设点C的坐标为（m，-$\frac{1}{2}$m+2）（0＜m＜4），则点E的坐标为（m，-m+4），
∴OD=EF=m，CD=2-$\frac{1}{2}$m，DE=4-m，
∵ED⊥OA，EF⊥y轴，BO⊥OA，
∴∠O=∠F=∠ODE=90°，
∴四边形ODEF为矩形．
∴C_矩形ODEF=2×（OD+DE）=2×（m+4-m）=8．
故选C．

点评 本题考查了一次函数图象上点的坐标特征、矩形的判定及性质以及矩形的周长公式，属于基础题，难度不大．解题的关键是找出点E的坐标．