Question

如图①，在△ABC中，∠ABC、∠ACB的平分线相交于点O．

（1）若∠A=40°，则∠BOC=

 

．若∠A=60°，则∠BOC=

 

．
若∠BOC=3∠A，则∠BOC=

 

．
（2）如图②，在△A′B′C′中的外角平分线相交于点O′，∠A=40°，则∠B′O′C′=

 

（3）上面（1）、（2）两题中的∠BOC与∠B′O′C′有怎样的数量关系？若∠A=∠A′=n°，∠BOC与∠B′O′C′是否有这样的关系？这个结论你是怎样得到的？
（4）如图③，△A″B″C″的内角∠ACB的外角平分线与∠ABC的内角平分线相交于点O″，∠BOC与∠B″O″C″有怎样的数量关系？若∠A=∠A′=n°，∠BOC与∠B″O″C″是否有这样的关系？这个结论你是怎样得到的？

Answer 1

考点：三角形内角和定理,三角形的外角性质

专题：几何综合题

分析：（1）根据角平分线定义得出∠1+∠2=

1

2

∠ABC+

1

2

∠ACB=

1

2

×140°=70°，根据三角形内角和定理求出即可；
（2）求出∠A′B′C′+∠A′C′B′，求出∠1+∠2，根据三角形内角和定理求出即可；
（3）根据（1）（2）求出的结果即可得出答案；
（4）求出∠B″O″C″，根据（3）的结果即可得出答案．

解答：解：（1）∵∠A=40°，
∴∠ABC+∠ACB=180°-40°=140°，
∵∠ABC、∠ACB的平分线相交于点O，
∴∠1+∠2=

1

2

∠ABC+

1

2

∠ACB=

1

2

×140°=70°，
∴∠BOC=180°-（∠1+∠2）=110°，
∵∠A=60°，
∴∠ABC+∠ACB=180°-60°=120°，
∵∠ABC、∠ACB的平分线相交于点O，
∴∠1+∠2=

1

2

∠ABC+

1

2

∠ACB=

1

2

×120°=60°，
∴∠BCO=180°-120°=60°；
∵设∠A=x°，
则∠1+∠2=

1

2

（∠ABC+∠ACB）=

1

2

×（180°-x°）=90°-

1

2

x°，
∴∠BOC=180°-（∠1+∠2）=180°-（90°-

1

2

x°）=90°+

1

2

x°，
∵∠BOC=3∠A，
∴3x=90+

1

2

x，
x=36，
即∠BCO=3x°=108°；
故答案为：110°，60°，108°．
（2）如图2，∵∠A′=40°，
∴∠A′B′C′+∠A′C′B′=180°-40°=140°，
∴∠MB′C′+NC′B′=360°-140°=220°，
∵B′O′、C′O′分别平分∠MB′C′，∠NC′B′，
∴∠1=

1

2

∠MB′C′，∠2=

1

2

∠NC′B′，
∴∠1+∠2=110°，
∴∠B′O′C′=180°-110°=70°，
故答案为：70°；

（3）图1和图2的∠BOC+∠B′O′′=180°（当∠A=∠A′时）；
图1中∠BOC=180°-（∠1+∠2）
=180°-

1

2

（∠ABC+∠ACB）
=180°-

1

2

（180°-∠A）
=90°+

1

2

∠A，
图2中∠B′O′′=180°-（∠1+∠2）
=180°-

1

2

（∠MB′C′+∠NC′B′）
=180°-

1

2

[360°-（∠A′B′C′+∠A′C′B′）]
=

1

2

（180°-∠A′）
=90°-

1

2

∠A′，
∵∠A=∠A′=n°，
∴∠BOC+∠B′O′′=180°

（4）
∵∠A″C″M=2∠2=∠A″+∠A″B″C″，
∠2=∠O″+∠1，
∵C″D″平分∠A″C″M，B″O″平分∠A″B″C″
∴∠A″C″M=2∠2，∠A″B″C″=2∠1，
∴∠A″=2∠O″=n°，
∴∠B″O″C″=

1

2

∠A″，
∵∠BOC=90°+

1

2

∠A，∠A=∠A′=n°
∴∠BOC-∠B″O″C″=90°．

点评：本题主要考查三角形内角平分线的性质及三角形内角和定理的推论，三角形外角性质的应用，主要考查学生的推理能力和计算能力．