Question

18．如图，在同一直角坐标系中，正比例函数的图象可以看作是：将x轴所在的直线绕原点O逆时针旋转α度（0＜α＜90）后的图形，若它与反比例函数y=$\frac{4}{x}$的图象分别交一、三象限的点B、D，已知点A（-m，0）、C（m，0）（m＞0）
（1）直接判断：不论α取何值，四边形ABCD的形状一定是平行四边形；
（2）当点B的坐标为（p，1），四边形ABCD是矩形时，求p和m的值；
（3）请根据m的取值情况，判断矩形ABCD的个数．（直接写出答案即可）

Answer 1

分析 （1）由于反比例函数的图象是一个中心对称图形，点B、D是正比例函数与反比例函数图象的交点，所以点B与点D关于点O成中心对称，则OB=OD，又OA=OC，根据对角线互相平分的四边形是平行四边形，可得出四边形ABCD的形状；
（2）把点B（p，1）代入y=$\frac{4}{x}$，即可求出p的值；过B作BE⊥x轴于E，在Rt△BOE中，根据勾股定理，得出OB的长度，然后根据进行的对角线相等得出OA=OB=OC=OD，从而求出m的值；
（3）当m=$\sqrt{17}$时，设B（x，$\frac{4}{x}$）则x＞0，由OB=，得出x²+（$\frac{4}{x}$）²=（$\sqrt{17}$）²，解此方程，得出满足条件的x的值有两个，故能使四边形ABCD为矩形的点B共有两个．

解答 解：（1）∵点B、D是正比例函数与反比例函数图象的交点，
∴点B与点D关于点O成中心对称，
∴OB=OD，
又∵OA=OC，
∴四边形ABCD的形状一定是平行四边形；
故答案为：平行四边形；

（2）把点B（p，1）代入y=$\frac{4}{x}$，解得：p=4，
过B作BE⊥x轴于E，则OE=1，EB=4，
∵在Rt△BOE中，∴OB=$\sqrt{17}$，
又∵点B、D是正比例函数与反比例函数图象的交点，
∴点B、D关于原点O成中心对称，
∴OB=OD=$\sqrt{17}$，
∵四边形ABCD为矩形，且A（-m，0），C（m，0）
∴OA=OB=OC=OD=$\sqrt{17}$
∴m=$\sqrt{17}$；

（3）当m=$\sqrt{17}$时，设B（x，$\frac{4}{x}$）则x＞0，
∵OB=$\sqrt{17}$，
∴x²+（$\frac{4}{x}$）²=（$\sqrt{17}$）²，
解得：x=±1或±4，
∵x＞0，
∴x=1或4，则$\frac{4}{x}$=4或1，
故能使四边形ABCD为矩形的点B共有2个．

点评 本题主要考查了平行四边形的判定，矩形、反比例函数的性质等知识，关键是掌握反比例函数的图象是一个中心对称图形．