精英家教网 > 初中数学 > 题目详情

已知抛物线y=x2+(2n-1)x+n2-1(n为常数).

(1)

当该抛物线经过坐标原点,并且顶点在第四象限时,求出它所对应的函数关系式;

(2)

设A是(1)所确定的抛物线上位于x轴下方且在对称轴左侧的一个动点,过A作x轴的平行线,交抛物线于另一点D,再作AB⊥x轴于B,DC⊥x轴于C.

①当BC=1时,求矩形ABCD的周长;

②试问矩形ABCD的周长是否存在最大值?如果存在,请求出这个最大值,并指出此时A点的坐标;如果不存在,请说明理由.

答案:
解析:

(1)

由已知条件,得n2-1=0,解这个方程,得n1=1,n2=-1.当n=1时,得y=x2+x,此抛物线的顶点不在第四象限;当n=-1时,得y=x2-3x,此抛物线的顶点在第四象限.所以抛物线所对应的函数关系式为y=x2-3x.

(2)

  解:由y=x2-3x,令y=0,得x2-3x=0,解得xl=0,x2=3,所以抛物线与x轴的另一个交点为(3,0),所以它的顶点为,对称轴为直线x=,其大致位置如图所示.

  ①因为BC=1,由抛物线和矩形的对称性易知OB=×(3-1)=1,所以B(1,0),所以点A的横坐标x=1,又因为点A在抛物线y=x2-3x上,所以点A的纵坐标y=12-3×1=-2,所以AB=|y|=|-2|=2,所以矩形ABCD的周长为2(AB+BC)=2×(2+1)=6.

  ②因为点A在抛物线y=x2-3x上,故可设A点的坐标为(x,x2-3x),所以B点的坐标为(x,0)(0<x<),所以BC=3-2x,A在x轴下方,所以x2-3x<0,所以AB=|x2-3x|=3x-x2,所以矩形ABCD的周长P=2[(3x-x2)+(3-2x)]=-2(x-)2.因为a=-2<0,所以当x=时,矩形ABCD的周长P的最大值为

  解题指导:(1)抛物线经过原点,则可将点(0,0)代人函数表达式;再根据顶点在第四象限则可确定函数的表达式.

  (2)将矩形ABCD的周长表示出来,再根据其特点求出最大值.


练习册系列答案
相关习题

科目:初中数学 来源: 题型:

已知抛物线yx2-3x-4则它与x轴的交点坐标是                 .

 

查看答案和解析>>

科目:初中数学 来源: 题型:

已知抛物线yx2-3x-4则它与x轴的交点坐标是                  .

 

查看答案和解析>>

科目:初中数学 来源:2013年辽宁省营口市中考模拟(一)数学试卷(带解析) 题型:解答题

如图,已知抛物线y=x2+bx+c与坐标轴交于A、B、C三点, A点的坐标为(-1,0),过点C的直线y=x-3与x轴交于点Q,点P是线段BC上的一个动点,过P作PH⊥OB于点H.若PB=5t,且0<t<1.

(1)填空:点C的坐标是     ,b=   ,c=    
(2)求线段QH的长(用含t的式子表示);
(3)依点P的变化,是否存在t的值,使以P、H、Q为顶点的三角形与△COQ相似?若存在,求出所有t的值;若不存在,说明理由.

查看答案和解析>>

科目:初中数学 来源:2013年辽宁省营口市中考模拟(一)数学试卷(解析版) 题型:解答题

如图,已知抛物线y=x2+bx+c与坐标轴交于A、B、C三点, A点的坐标为(-1,0),过点C的直线y=x-3与x轴交于点Q,点P是线段BC上的一个动点,过P作PH⊥OB于点H.若PB=5t,且0<t<1.

(1)填空:点C的坐标是     ,b=   ,c=    

(2)求线段QH的长(用含t的式子表示);

(3)依点P的变化,是否存在t的值,使以P、H、Q为顶点的三角形与△COQ相似?若存在,求出所有t的值;若不存在,说明理由.

 

查看答案和解析>>

科目:初中数学 来源:2011届江苏省太仓市九年级上学期期中考试数学卷 题型:填空题

已知抛物线yx2x-1与x轴的一个交点为(m,0),则代数式m2-m+2011的值是    ▲   

 

查看答案和解析>>

同步练习册答案