Question

如图1所示，在正方形ABCD中，AB=1，

AC

是以点B为圆心，AB长为半径的圆的一段弧，点E是边AD上的任意一点（点E与点A、D不重合），过E作AC所在圆的切线，交边DC于点F，G为切点．
（1）当∠DEF=45°时，求证：点G为线段EF的中点；
（2）设AE=x，FC=y，求y关于x的函数解析式，并写出函数的定义域；
（3）图2所示，将△DEF沿直线EF翻折后得△D₁EF，当EF=

5

6

时，讨论△AD₁D与△ED₁F是否相似，如果相似，请加以证明；如果不相似，只要求写出结论，不要求写出理由．

Answer 1

分析：（1）根据等腰三角形的三线合一进行证明，能够熟练运用等腰直角三角形的性质和切线长定理发现G为线段EF的中点；
（2）根据切线长定理、正方形的性质得到有关的线段用x，y表示，再根据勾股定理建立函数关系式．
（3）结合（2）中的函数关系式，求得x的值．分两种情况分别分析，根据切线长定理找到角之间的关系，从而发现正方形，根据正方形的性质得到两个角对应相等，从而证明三角形相似．

解答：（1）证明：∵∠DEF=45°，
∴∠DFE=90°-∠DEF=45°．
∴∠DFE=∠DEF．
∴DE=DF．
又∵AD=DC，
∴AE=FC．
∵AB是圆B的半径，AD⊥AB，
∴AD切圆B于点A．
同理：CD切圆B于点C．
又∵EF切圆B于点G，
∴AE=EG，FC=FG．
∴EG=FG，即G为线段EF的中点．

（2）解：根据（1）中的线段之间的关系，得EF=x+y，DE=1-x，DF=1-y，
根据勾股定理，得：
（x+y）²=（1-x）²+（1-y）²
∴y=

1-x

1+x

（0＜x＜1）．

（3）解：当EF=

5

6

时，由（2）得EF=EG+FG=AE+FC，
即x+

1-x

1+x

=

5

6

，
解得x₁=

1

3

，x₂=

1

2

．
经检验x₁=

1

3

，x₂=

1

2

是原方程的解．
①当AE=

1

2

时，△AD₁D∽△ED₁F，
证明：设直线EF交线段DD₁于点H，由题意，得：
△EDF≌△ED₁F，EF⊥DD₁且DH=D₁H．
∵AE=

1

2

，AD=1，
∴AE=ED．
∴EH∥AD₁，∠AD₁D=∠EHD=90°．
又∵∠ED₁F=∠EDF=90°，
∴∠FD₁D=∠AD₁D．
∴D₁F∥AD，
∴∠ADD₁=∠DD₁F=∠EFD=45°，
∴△ED₁F∽△AD₁D．
②当AE=

1

3

时，△ED₁F与△AD₁D不相似．

点评：此题综合运用了切线长定理、相似三角形的判定和性质；能够发现正方形，根据正方形的性质进行分析证明．