Question

如图所示，已知AB是半圆O的直径，D是AB延长线上的一点，AE⊥DC，交DC的延长线于点E，交半圆O于点F，且C为

BF

的中点．
（1）求证：DE是半圆O的切线；
（2）若∠D=30°，求证：∠CAE=∠BCD．

Answer 1

分析：（1）连接BF，OC，根据C是弧BF的中点可以得到OC⊥BF，根据直径所对的圆周角是直角可以得到BF⊥AE，则BF∥CE，因而可以证得OC⊥DE，从而证得DE是半圆O的切线；
（2）根据AB是半圆O的直径，∠ACB=90°，则∠ACE+∠BCD=90°，在直角△ACE中，∠ACE+∠EAC=90°，即可得到∠EAC=∠BCD．

解答：证明：（1）连接BF，OC．
∵C为弧BF的中点，
∴OC⊥BF，
又∵AB是半圆O的直径，
∴BF⊥AE，
∴BF∥CE，
∴OC⊥DE，
∴DE是半圆O的切线；

（2）∵AB是半圆O的直径，
∴∠ACB=90°，
∴∠ACE+∠BCD=90°，
又∵直角△ACE中，∠ACE+∠EAC=90°，
∴∠EAC=∠BCD．

点评：本题考查了圆周角定理，以及切线的判定，判定切线的问题常用的方法是转化成证明垂直问题．