Question

（2006•南通）如图，已知△BEC是等边三角形，∠AEB=∠DEC=90°，AE=DE，AC，BD的交点为O．
（1）求证：△AEC≌△DEB；
（2）若∠ABC=∠DCB=90°，AB=2 cm，求图中阴影部分的面积．

Answer 1

【答案】分析：（1）在△AEB和△DEC中，已知AE=DE，BE=CE，且夹角相等，根据边角边可证全等．
（2）由图可知，在连接EO并延长EO交BC于点F，连接AD之后，整个图形是一个以EF所在直线对称的图形．即△AEO和△DEO面积相等，只要求出其中一个即可，而三角形AEO面积=•OE•FB，所以解题中心即为求出OE和FB，有（1）中结论和已知条件即可求解．
解答：（1）证明：∵∠AEB=∠DEC=90°，
∴∠AEB+∠BEC=∠DEC+∠BEC，即∠AEC=∠DEB，
∵△BEC是等边三角形，
∴CE=BE，
又AE=DE，
∴△AEC≌△DEB．

（2）解：连接EO并延长EO交BC于点F，连接AD．由（1）知AC=BD．
∵∠ABC=∠DCB=90°，∴∠ABC+∠DCB=180°，
∴AB∥DC，AB==CD，
∴四边形ABCD为平行四边形且是矩形，
∴OA=OB=OC=OD，
又∵BE=CE，
∴OE所在直线垂直平分线段BC，
∴BF=FC，∠EFB=90°．
∴OF=AB=×2=1，
∵△BEC是等边三角形，
∴∠EBC=60°．
在Rt△AEB中，∠AEB=90°，
∠ABE=∠ABC-∠EBC=90°-60°=30°，
∴BE=AB•cos30°=，
在Rt△BFE中，∠BFE=90°，∠EBF=60°，
∴BF=BE•cos60°=，
EF=BE•sin60°=，
∴OE=EF-OF==，
∵AE=ED，OE=OE，AO=DO，
∴△AOE≌△DOE．∴S_△AOE=S_△DOE
∴S_阴影=2S_△AOE=2וEO•BF=2×××=（cm²）．
点评：考查综合应用等边三角形、等腰三角形、解直角三角形、直角三角形性质，进行逻辑推理能力和运算能力．