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精英家教网如图:抛物线经过A(-3,0)、B(0,4)、C(4,0)三点,
(1)求抛物线的解析式;
(2)求该抛物线的顶点坐标以及最值;
(3)已知AD=AB(D在线段AC上),有一动点P从点A沿线段AC以每秒1个单位长度的速度移动;同时另一个动点Q以某一速度从点B沿线段BC移动,经过t秒的移动,线段PQ被BD垂直平分,求t的值.
分析:(1)已知抛物线图象上的三点坐标,可利用待定系数法求出该抛物线的解析式;
(2)将(1)题所得抛物线的解析式,化为顶点坐标式,即可得到该抛物线的顶点坐标以及函数的最值;
(3)根据A、B的坐标,易求得AD=AB=5,则CD=AC-AD=2,连接DQ,由于BD垂直平分PQ,那么DP=DQ,根据等腰三角形三线合一的性质知:∠PDB=∠QDB=∠ABD,即AB∥DQ,此时△CDQ∽△CAB,利用相似三角形得到的比例线段即可求得DQ、PD的长,从而求得AP的值,进而可求得t的值.
解答:精英家教网解:(1)设抛物线的解析式为:y=a(x+3)(x-4),则有:
4=a(0+3)(0-4),a=-
1
3

故抛物线的解析式为:y=-
1
3
(x+3)(x-4)=-
1
3
x2+
1
3
x+4;

(2)由(1)知:y=-
1
3
x2+
1
3
x+4=-
1
3
(x-
1
2
2+
49
12

故抛物线的顶点坐标为:(
1
2
49
12
),最大值为
49
12


(3)易知OA=3,OB=OC=4;
则AB=5,AC=7,CD=2;
连接DQ,由于BD垂直平分PQ,则DP=DQ,得:
∠PDB=∠QDB,
而AD=AB,得:∠ABD=∠ADB,
故∠QDB=∠ABD,
得QD∥AB;
∴△CDQ∽△CAB,则有:
CD
CA
=
DQ
AB
2
7
=
DQ
5

∴PD=DQ=
10
7
,AP=AD-PD=5-
10
7
=
25
7

故t=
25
7
点评:此题主要考查了二次函数解析式的确定、抛物线顶点坐标的求法、线段垂直平分线的性质、相似三角形的判定和性质等重要知识,难度适中.
练习册系列答案
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精英家教网如图,抛物线经过A(4,0),B(1,0),C(0,-2)三点.
(1)求出抛物线的解析式;
(2)P是抛物线上一动点,过P作PM⊥x轴,垂足为M,是否存在P点,使得以A,P,M为顶点的三角形与△OAC相似?若存在,请求出符合条件的点P的坐标;若不存在,请说明理由;
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(2013•苏州一模)如图,抛物线经过A,C,D三点,且三点坐标为A(-1,0),C(0,5),D(2,5),抛物线与x轴的另一个交点为B点,点F为y轴上一动点,作平行四边形DFBG,
(1)B点的坐标为
(3,0)
(3,0)

(2)是否存在F点,使四边形DFBG为矩形?如存在,求出F点坐标;如不存在,说明理由;
(3)连结FG,FG的长度是否存在最小值?如存在求出最小值;若不存在说明理由;
(4)若E为AB中点,找出抛物线上满足到E点的距离小于2的所有点的横坐标x的范围:
-1<x<
5-
91
5
5+
91
5
<x<3
-1<x<
5-
91
5
5+
91
5
<x<3

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科目:初中数学 来源: 题型:

(2013•高要市二模)已知:如图,抛物线经过点O、A、B三点,四边形OABC是直角梯形,其中点A在x轴上,点C在y轴上,BC∥OA,A(12,0)、B(4,8).
(1)求抛物线所对应的函数关系式;
(2)D为OA的中点,动点P自A点出发沿A→B→C→O的路线移动,若线段PD将梯形OABC的面积分成1﹕3两部分,求此时P点的坐标.

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科目:初中数学 来源: 题型:

精英家教网如图,抛物线经过A(-2,0)、B(8,0)两点,与y轴正半轴交与点C,且AB=BC,点P为第一象限内抛物线上一动点(不与B、C重合),设点P的坐标为(m,n).
(1)求抛物线的解析式;
(2)点D在BC上,且PD∥y轴,探索
BD•DCPD
的值;
(3)设抛物线的对称轴为l,若以点P为圆心的⊙P与直线BC相切,请写出⊙P的半径R关于m函数关系式,并判断⊙P与直线l的位置关系.

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