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已知,如图1:在正方形ABCD中,AB=2,点P是DC延长线上一点,以P为圆心,PD长为半径的圆的一段弧交AB边于点E,
(1)若以A为圆心,AE为半径的圆与以BC为直径的圆外切时,求AE的长;
(2)如图2:连接PE交BC边于点F,连接DE,设AE长为x,CF长为y,求y与x的函数关系式,并写出自变量x的取值范围;
(3)将点B沿直线EF翻折,使点B落在平面上的B′处,当EF=数学公式时,△AB′B与△BEF是否相似?若相似,请加以证明;若不相似,简要说明理由.

解:(1)取BC的中点G,连接AG.
∵圆A与圆G圆外切,
∴AG=AE+1.
正方形ABCD中,AB=2,设AE=x.
∵在Rt△ABG中,AB2+BG2=AG2
(负数舍去).
∴以A为圆心,AE为半径的圆与以BC为直径的圆外切时,AE的长为

(2)过点D作DH⊥PE于H,连接DF.
∵PD=PE,
∴∠PDE=∠PED.
∵四边形ABCD为正方形,
∴DC∥AB,
∴∠PDE=∠DEA,
∴∠PED=∠DEA;
∵∠A=∠DHE=90°,DE=DE,
∴△DAE≌△DHE;
∴DA=DH,EA=EH.
∵DC=DH,∠DCF=∠DHF=90°,DF=DF,
∴△DHF≌△DCF;
∴CF=FH;
∵AE=x,CF=y,
∴EF=x+y,BE=2-x,BF=2-y;
∴在直角三角形BEF中,BE2+BF2=EF2
∴(2-x)2+(2-y)2=(x+y)2
整理得到:

(3)∵EF=


解得:
当x1=1时,
∵B沿直线EF翻折落在平面上的B'处,
∴BB'⊥EF,设垂足为Q.
∴BQ=,BB'=
∵E、Q分别为AB、BB'的中点,
∴EQ∥AB',
∴∠ABB'=∠EQB=90°.
在△AB'B与△BEF中,
=
∴△AB'B∽△BEF;
(用相似传递性也可以证明△AB'B∽△BEF,也按步骤分步得分)
时,
==2,=1,
EQ与AB'不平行,
∴△ABB'不是直角三角形,
∴△AB'B与△BEF不相似.
综上所述,当EF=,AE=1时,△AB'B∽△BEF;
当EF=时,△AB'B与△BEF不相似.
分析:(1)两圆外切,则圆心距等于两圆的半径和;设BC的中点为G,那么AG的长应该是AE+BC,进而可在Rt△ABG中,由勾股定理求得AE的长.
(2)若要x、y发生联系,需将它们构建到同一个直角三角形中;连接DF,过D作DH⊥PE于H;通过证△DAE≌△DHE得到AE=EH=x,通过证△DHF≌△DCF得到CF=FH=y,进而可在Rt△EFB中,根据勾股定理求得x、y的函数关系式;
(3)由(2)知:当EF=时,x+y=,联立(2)的函数关系式可求得此时x的值,进而可求出AE、BF的长;根据折叠的性质知:EF垂直平分BB′,设垂足为Q;在Rt△BEF中,根据直角三角形面积的不同表示方法,可求得BQ的长,也就得出了BB′的长;然后再判断两个直角三角形的对应边是否成比例即可.
点评:此题考查了正方形的性质、相切两圆的位置关系、勾股定理、相似三角形及全等三角形的判定和性质等知识的应用能力,综合性强,难度较大.
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