Question

19．如图，在单位长度为1的正方形网格中，一段圆弧经过网格的交点 A、B、C．其中点A的坐标为（0，4），
（1）画出△ABC的外心D（保留画图痕迹）
（2）写出点的坐标：C（6，2）、D（2，0）；
（3）外接圆⊙D的半径=2$\sqrt{5}$；
（4）若扇形ADC是一个圆锥的侧面展开图，则该圆锥的底面半径为$\frac{\sqrt{5}}{2}$；
（5）若E（7，0），试判断直线EC与⊙D的位置关系并说明理由．

Answer 1

分析 （1）根据题意建立平面直角坐标系，然后作出弦AB的垂直平分线，以及BC的垂直平分线，两直线的交点即为圆心D，连接AD，CD；
（2）根据第一问画出的图形即可得出C及D的坐标；
（3）在直角三角形AOD中，由OA及OD的长，利用勾股定理求出AD的长，即为圆O的半径；
（4）设该圆锥的底面半径，根据地面周长等于弧长即可得出r的值；
（5）直线CE与圆O的位置关系是相切，理由为：由圆的半径得出DC的长，在直角三角形CEF中，由CF及FE的长，利用勾股定理求出CE的长，再由DE的长，利用勾股定理的逆定理得出三角形DCE为直角三角形，即EC垂直于DC，可得出直线CE为圆O的切线

解答 解：（1）根据题意画出相应的图形，如图所示：

（2）根据图形得：C（6，2），D（2，0）．
故答案为：（6，2），（2，0）；

（3）在Rt△AOD中，OA=4，OD=2，
根据勾股定理得：AD=$\sqrt{{OA}^{2}+{OD}^{2}}$=2$\sqrt{5}$，
则⊙D的半径为2$\sqrt{5}$．
故答案为：2$\sqrt{5}$；

（4）由题意可得出：∠ADC=90°，设该圆锥的底面半径r，
∵扇形DAC是一个圆锥的侧面展开图，
则该圆锥的底面周长为：$\frac{90π×2\sqrt{5}}{180}$=$\sqrt{5}$π，
∴2πr=$\sqrt{5}$π，解得r=$\frac{\sqrt{5}}{2}$．
故答案为：$\frac{\sqrt{5}}{2}$；

（5）直线EC与⊙D的位置关系为相切，理由为：
在Rt△CEF中，CF=2，EF=1，
根据勾股定理得：CE=$\sqrt{{CF}^{2}+{EF}^{2}}$=$\sqrt{5}$，
在△CDE中，CD=2$\sqrt{5}$，CE=$\sqrt{5}$，DE=5，
∵CE²+CD²=（$\sqrt{5}$）²+（2$\sqrt{5}$）²=5+20=25，DE²=25，
∴CE²+CD²=DE²，
∴△CDE为直角三角形，即∠DCE=90°，
∴CE⊥DC，则CE与圆D相切．

点评 此题考查的是圆的综合题，涉及到勾股定理以及切线的性质和扇形弧长公式等知识，熟练利用切线的性质定理和勾股定理得出是解题关键．