Question

15．已知等边△ABC的边长为4，点D是边BC的中点，点E在线段BA上由点B向点A运动，连接ED，以ED为边在ED右侧作等边三角形EDF，设△EDF的中心为O，则点E由点B向点A运动的过程中，点O运动的路径长为$\frac{4\sqrt{3}}{3}$．

Answer 1

分析 点O为△EFD的中心，连接OD、OE，过点O作OG⊥AB，垂足为G，OH⊥BC，垂足为H，先证明Rt△EGO≌Rt△DHO，从而得到OG=OH，故此点O在∠ABC的平分线上，如图2所示先求得BO的长，然后再求得BO′，从而可得到OO′，于是得到点O运动的路径长．

解答 解：如图1所示：点O为△EFD的中心，连接OD、OE，过点O作OG⊥AB，垂足为G，OH⊥BC，垂足为H．

∵点O为等边△EFD的中心，
∴OE=OD，∠OED=∠ODE．
∵∠B+∠BDE=∠GEF+∠FED，∠B=∠FED，
∴∠EDH=∠GEF．
∴∠GEO=∠HDO．
在Rt△EGO和Rt△DHO中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠GEO=∠HDO}\\{∠OGE=OHD}\\{OE=OD}\end{array}\right.$，
∴Rt△EGO≌Rt△DHO．
∴OG=OH．
∴点O在∠ABC的平分线上．
如图2所示：当点E与点B重合时．过点O作OG⊥BC，垂足为G．

∵BC=4，
∴BG=1．
∴OB=$\frac{BG}{\frac{\sqrt{3}}{2}}$=1×$\frac{2\sqrt{3}}{3}$=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$．
当点E位于点E′处时，点O位于点O′处．
BO′=$\frac{\sqrt{3}}{2}$BC=$\frac{\sqrt{3}}{2}×4$=2$\sqrt{3}$．
∴OO′=2$\sqrt{3}-\frac{2\sqrt{3}}{3}$=$\frac{4\sqrt{3}}{3}$．
∴点O运动的路径长为$\frac{4\sqrt{3}}{3}$．
故答案为：$\frac{4\sqrt{3}}{3}$．

点评 本题主要考查的是点的轨迹问题，解答本题主要应用了等边三角形的性质、全等三角形的性质和判定，证得点O在∠ABC的平分线上是解题的关键．