Question

如图所示，在△ABC中，∠C=90°，AC=5cm，BC=7cm，点P从点A出发沿边AC向点C以1cm/s的速度移动，点Q从C点出发沿CB边向点B以2cm/s的速度移动．
（1）如果P、Q同时出发，几秒钟后，可使△PCQ的面积为4cm²？
（2）点P、Q在移动过程中，是否存在某一时刻，使得△PCQ的面积等于△ABC的面积的一半？若存在，求出运动的时间；若不存在，说明理由．

Answer 1

考点：一元二次方程的应用,三角形的面积,勾股定理

专题：几何动点问题

分析：（1）设P、Q同时出发，x秒钟后，AP=xcm，PC=（5-x）cm，CQ=2xcm，此时△PCQ的面积为：

1

2

×2x（5-x），令该式=4，由此等量关系列出方程求出符合题意的值；
（2）求出△ABC的面积进而利用b²-4ac的符号得出即可．

解答：解：（1）设xs后，可使△PCQ的面积为4cm²．
由题意得，AP=xcm，PC=（5-x）cm，CQ=2xcm，
则

1

2

（5-x）•2x=4，
整理，得x²-5x+4=0，
解得x₁=1，x₂=4（舍去）．
所以P、Q同时出发，1s后可使△PCQ的面积为4cm²；

（2）∵S_△ABC=

1

2

×5×7=

35

2

，
∴当△PCQ的面积等于△ABC的面积的一半，即S_△PCQ=

35

4

，
故

1

2

（5-x）•2x=

35

4

，
整理得：4x²-20x+35=0，
b²-4ac=400-4×4×35=-160＜0，
故此方程无解，则△PCQ的面积不可能等于△ABC的面积的一半．

点评：本题主要考查一元二次方程的应用，关键在于根据三角形面积公式找出等量关系列出方程求解．