Question

若2⁴⁸-1可以被大于60小于70之间的两个数整除，求这两个数．
[变式]81⁷-27⁹-9¹³必能被45整除吗？试说明理由．

Answer 1

解：2⁴⁸-1=（2²⁴+1）（2²⁴-1），
=（2²⁴+1）（2¹²+1）（2¹²-1），
=（2²⁴+1）（2¹²+1）（2⁶+1）（2⁶-1）；
∵2⁶=64，
∴2⁶-1=63，2⁶+1=65，
∴这两个数是65、63．

81⁷-27⁹-9¹³，
=3²⁸-3²⁷-3²⁶，
=3²⁴（3⁴-3³-3²），
=3²⁴×45，
∴81⁷-27⁹-9¹³必能被45整除．
分析：先利用平方差公式分解因式，再找出范围内的解即可，利用提取公因式法因式分解得出原式=3²⁴（3⁴-3³-3²）即可得出答案．
点评：此题主要考查了因式分解的运用即利用平方差公式分解因式，先分解因式，然后再找出范围内的解是本题解题的思路．