Question

9．如图，正方形ABCD中，AB=6，点E在边CD上，且CD=3DE，将△ADE沿AE对折至△AFE，延长EF交边BC于点G，连接AG、CF，下列结论：
①△ABG≌△AFG；②BG=GC；③AG∥CF；④S_△FGC=$\frac{18}{5}$．
其中正确结论的个数是（　　）

• A． 1
• B． 2
• C． 3
• D． 4

Answer 1

分析 ①正确，可以根据HL进行证明．
②正确，设BG=GF=x，在RT△EGC中，利用勾股定理即可解决问题．
③正确，根据tan∠AGB=$\frac{AB}{BG}$，tan∠FCM=$\frac{FM}{CM}$的值即可判定．
④正确，根据S_△FGC=$\frac{1}{2}$•GC•FM即可计算．

解答 解：作FM⊥BC于M，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=BC=CD=DA=6，∠B=∠D=∠BCD=90°，
∵△AEF是由△ADE翻折，
∴AD=AF=AB，∠ADE=∠AFE=∠AFG=90°，
在RT△AGF和RT△AGB中，
$\left\{\begin{array}{l}{AG=AG}\\{AF=AB}\end{array}\right.$，
∴△ABG≌△AFG．故①正确．
∴BG=GF，设BG=GF=x，
在RT△EGC中，∵∠ECG=90°，EC=4，EG=x+2，GC=6-x，
∴（x+2）²=4²+（6-x）²，
∴x=3，
∴BG=GC=3，故②正确．
∵FM∥EC，
∴$\frac{FG}{GE}$=$\frac{FM}{EC}$=$\frac{GM}{GC}$，
∴FM=$\frac{12}{5}$，GC=$\frac{9}{5}$，CM=$\frac{6}{5}$，
∴tan∠AGB=$\frac{6}{3}$=2，tan∠FCM=$\frac{FM}{CM}$=2，
∴∠AGB=∠FCM，
∴AG∥CF，故③正确，
∴S_△FGC=$\frac{1}{2}$•3•$\frac{12}{5}$=$\frac{18}{5}$，故④正确．
故选D．

点评 本题考查正方形的性质、全等三角形的判定和性质、翻折变换等知识，解题的关键是灵活应用这些知识解决问题，属于中考常考题型．