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18.抛物线y=ax2+bx+c的顶点为D(-1,2),与x轴的一个交点A在点(-3,0)和(-2,0)之间,其部分图象如图所示,则下列结论:①b2-4ac<0;②a+b+c<0;③2a+b=0;④c-a=2;⑤4ac-8a=b2;⑥方程ax2+bx+c-1=0有两个相等的实数根.其中正确结论的个数为(  )
A.3个B.4个C.5个D.6个

分析 ①根据二次函数y=ax2+bc+c的图象与x轴有两个交点,可得△>0,即b2-4ac>0,据此判断即可.
②根据二次函数y=ax2+bc+c的图象的对称轴是x=-1,与x轴的一个交点A在点(-3,0)和(-2,0)之间,可得与x轴的另一个交点A在点(0,0)和(1,0)之间,所以x=1时,y<0,据此判断即可.
③结合抛物线的顶点坐标来求(2a+b)的值;
④首先根据x=-$\frac{b}{2a}$,可得b=2a,所以顶点的纵坐标是$\frac{4ac-{b}^{2}}{4a}$=2,据此判断即可.
⑤根据b=2a、a=c-2进行解答;
⑥根据二次函数的最大值问题,当x=-1时,二次函数有最大值为2,即只有x=-1时,ax2+bx+c=2,所以说方程ax2+bx+c-2=0有两个相等的实数根.

解答 解:①∵二次函数y=ax2+bc+c的图象与x轴有两个交点,
∴△>0,
即b2-4ac>0,
故①错误;

②∵二次函数y=ax2+bc+c的图象的对称轴是x=-1,与x轴的一个交点A在点(-3,0)和(-2,0)之间,
∴与x轴的另一个交点A在点(0,0)和(1,0)之间,
∴x=1时,y<0,
∴a+b+c<0,
故②正确;

③∵顶点为D(-1,2),
∴-1=-$\frac{b}{2a}$,
∴2a-b=0.
故③错误

④∵x=-$\frac{b}{2a}$,
∴b=2a,
∴顶点的纵坐标是$\frac{4ac-{b}^{2}}{4a}$=2,
∴a=c-2,
故④正确;

⑤∵b=2a、a=c-2,
∴4ac-8a=4a(a+2)-8a=4a2=b2
故⑤正确;

⑥∵当x=-1时,二次函数有最大值为2,
即只有x=-1时,ax2+bx+c=2,
∴方程ax2+bx+c-2=0有两个相等的实数根,
故⑥错误;
综上所述,正确的结论有3个.
故选:A.

点评 此题主要考查了二次函数的图象与系数的关系,要熟练掌握,解答此题的关键是要明确:①二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小:当a>0时,抛物线向上开口;当a<0时,抛物线向下开口;②一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置:当a与b同号时(即ab>0),对称轴在y轴左; 当a与b异号时(即ab<0),对称轴在y轴右.(简称:左同右异)③常数项c决定抛物线与y轴交点. 抛物线与y轴交于(0,c).

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