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探究问题:圆内有很多关于线段的性质,如果能进行深入的探究,对提高自己的学习能力有很大的帮助。虽然这些知识看起来很复杂,摸不着头脑,但其实,我们完全可以用已经学习过的知识来得到这些新的知识。下面,就请同学们开动脑筋,积极思考,来作一个深入的探究吧。

如图所示,PT是圆O的切线,点T是切点,作线段PB与圆O相交,交点为A、B两点,连结TA、OP,OP与圆O相交于点C。

(1)探究∠ATP与∠B之间的关系(提示:过点T作直径与圆相交,连结这个交点与A点)

(2)证明:PT2=PA·PB

(3)如果线段PA=4,AB=5,CP=3,求出圆O的半径。

 



 解:(1)连结OT并延长交圆O于点C,连结AC.

             因为TC是直径,故∠TAC是直角,也就是∠ACT与∠CTA互余.

             又因为∠TCA和∠B所对弧相同,所以∠TCA=∠B,故∠B与∠CTA互余.                                         (4分)

             又PT是切线,所以∠CTA和∠ATP互余,所以∠ATP=∠B.

         (2)因为∠ATP=∠B,∠TP=∠BPA,所以ΔATPΔTPB,于是

              ,所以PT2=PA·PB                       (7分)

         (3)因为PA=4,AB=5,所以PB=9,从而PT2=PA·PB=4×9=36,所以PT=6. 设圆O的半径为R,又CP=3,所以OP=R+3,OT=R,根据勾股定理,有OT2+PT2=OP2,可求出R=4.5.           

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届  数

23

24

25

26

27

28

29

30

金牌数

15

5

16

16

28

32

38

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