A. | 1 | B. | 2 | C. | 3 | D. | 4 |
分析 根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半,可得FA=FC,根据等边三角形的性质可得EA=EC,根据线段垂直平分线的判定可得EF是线段AC的垂直平分线;根据条件及等边三角形的性质可得∠DFA=∠EAF=90°,DA⊥AC,从而得到DF∥AE,DA∥EF,可得到四边形ADFE为平行四边形而不是菱形;根据平行四边形的对角线互相平分可得AD=AB=2AF=4AG;易证DB=DA=EF,∠DBF=∠EFA=60°,BF=FA,即可得到△DBF≌△EFA.
解答 解:连接FC,如图所示:
∵∠ACB=90°,F为AB的中点,
∴FA=FB=FC,
∵△ACE是等边三角形,
∴EA=EC,
∵FA=FC,EA=EC,
∴点F、点E都在线段AC的垂直平分线上,
∴EF垂直平分AC,即EF⊥AC;
∵△ABD和△ACE都是等边三角形,F为AB的中点,
∴DF⊥AB即∠DFA=90°,BD=DA=AB=2AF,∠DBA=∠DAB=∠EAC=∠ACE=60°.
∵∠BAC=30°,
∴∠DAC=∠EAF=90°,
∴∠DFA=∠EAF=90°,DA⊥AC,
∴DF∥AE,DA∥EF,
∴四边形ADFE为平行四边形而不是菱形;
∵四边形ADFE为平行四边形,
∴DA=EF,AF=2AG,
∴BD=DA=EF,DA=AB=2AF=4AG;
在△DBF和△EFA中,
$\left\{\begin{array}{l}{BD=FE}\\{∠DBF=∠EFA}\\{BF=FA}\end{array}\right.$,
∴△DBF≌△EFA;
综上所述:①③④正确,
故选C.
点评 本题主要考查了直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半、等边三角形的性质、线段垂直平分线的判定、平行四边形判定与性质、全等三角形的判定与性质等知识;本题综合性比较强,有一定难度.
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