Question

【题目】如图，在□ABCD中，E、F分别是AD、BC的中点，∠AEF的角平分线交AB于点M，∠EFC的角平分线交CD于点N，连接MF、NE．

（1）求证：四边形EMFN是平行四边形．

（2）小明在完成（1）的证明后继续进行了探索，他猜想：当AB＝AD时，四边形EMFN是矩形．请在下列框图中补全他的证明思路．

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）∠EFM＝∠BMF，AM＝BM（或：M是AB中点）．

【解析】

（1）根据平行四边形的性质可得∠A=∠C，∠AEF＝∠CFE，AD=BC，根据角平分线的定义和中点的定义可得∠AEM＝∠CFN，AE＝CF，利用ASA即可证明△AME≌△CNF，可得EM＝FN，∠FEM＝∠FEN，根据内错角相等可得EM//FN，即可证明四边形EMFN是平行四边形；（2）由AE=BF，AE//BF可得四边形ABFE是平行四边形，可得EF//AB，可得∠MEF=∠AME，∠EFM=∠BMF，由角平分线可得∠AEM=∠MEF，即可证明∠AEM=∠AME，可得AE=AM，由AB=AD可得M为AB中点，即可证明BM=BF，进而可得∠BMF=∠BFM，即可证明∠BFM=∠EFM，可得∠EFM+∠EFN=90°，可得四边形EMFN是矩形．

(1)在□ABCD中，∠A＝∠C，AD∥BC，AD＝BC

∵E、F分别是AD、BC的中点，

∴AE＝AD，CF＝BC，

又∵AD＝BC，

∴AE＝CF，

∵AD∥BC，

∴∠AEF＝∠CFE，

∵EM平分∠AEF，FN平分∠EFC，

∴∠AEM＝∠FEM＝∠AEF，∠CFN＝∠FEN＝∠CFE，

∵∠AEF＝∠CFE，∠AEM＝∠AEF，∠CFN＝∠CFE，

∴∠AEM＝∠CFN，

在△AME和△CNF中，

∴△AME≌△CNF（ASA），

∵∠FEM＝∠FEN，

∴EM∥FN，

∵△AME≌△CNF，

∴EM＝FN，

∵EM∥FN，EM＝FN，

∴四边形EMFN是平行四边形．

（2）∵AE=BF，AE//BF，

∴四边形ABFE是平行四边形，

∴AB//EF，

∴∠MEF=∠AME，∠EFM=∠BMF，

∵∠AEM=∠MEF，

∴∠AEM=∠AME，

∴AE=AM，

∵E为AD中点，AB=AD，

∴M为AB中点，即AM=BM，

∵AE=BF，

∴BM=BF，

∴∠BMF=∠BFM，

∴∠BFM=∠EFM，

∵∠EFN=∠CFN，

∴∠EFM+∠EFN=90°，即∠MFN=90°，

∴四边形EMFN是矩形．

故答案为：∠EFM＝∠BMF，AM＝BM（或：M是AB中点）．