Question

如图，A，B两地之间有一座山，汽车原来从A地到B地须经C地沿折线A-C-B行驶，现开通隧道后，汽车直接沿直线AB行驶．已知AC=10km，∠A=30°，∠B=45°，则隧道开通后，汽车从A地到B地比原来少走多少千米？（结果精确到0.1km）（参考数据：

2

≈1.41，

3

≈1.73）

Answer 1

分析：过点C作AB的垂线CD，垂足为D，在直角△ACD和直角△CBD中，解直角三角形求出CD，AD，BC，就可以得到结论．

解答：解：过点C作AB的垂线CD，垂足为D．（1分）
∵AC=10km，∠A=30°，
∴CD=

1

2

AC=5（km）．
AD=

AC2-CD2

=

102-52

=5

3

（km）．（4分）
在Rt△CDB中，∵∠B=45°，
∴CD=BD=5km．
∴BC=

CD2+BD2

=

52+52

=5

2

（km）．（7分）
∴从A地到B地汽车少走的距离是：AC+BC-AB．（8分）
即AC+BC-AB=AC+BC-（AD+BD）
=10+5

2

-（5

3

+5）
=5×（1+

2

-

3

）
≈5×（1+1.41-1.73）
≈3.4（km）．（9分）
答：隧道开通后，汽车从A地到B地少走约3.4（km）．

点评：解一般三角形，求三角形的边或高的问题一般可以转化为解直角三角形的问题，解决的方法就是作高线．