【题目】(原题)已知直线AB∥CD,点P为平行线AB,CD之间的一点.如图1,若∠ABP=50°,∠CDP=60°,BE平分∠ABP,DE平分∠CDP,求∠BED的度数.
(探究)如图2,当点P在直线AB的上方时,若∠ABP=α,∠CDP=β,∠ABP和∠CDP的平分线交于点E1,∠ABE1与∠CDE1的角平分线交于点E2,∠ABE2与∠CDE2的角平分线交于点E3,…以此类推,求∠En的度数.
(变式)如图3,∠ABP的角平分线的反向延长线和∠CDP的补角的角平分线交于点E,试猜想∠P与∠E的数量关系,并说明理由.
【答案】【原题】55°;【探究】∠En的度数为(β﹣α);【变式】∠DEB=90°﹣∠P.理由见解析.
【解析】
过E作EF∥AB,依据平行线的性质,即可得到∠BED=∠BEF+∠DEF=∠ABE+∠CDE,依据角平分线即可得出∠BED的度数;【探究】依据平行线的性质以及三角形外角性质,求得∠E1=(β﹣α),∠E2=(β﹣α),∠E3=(β﹣α),以此类推∠En的度数为(β﹣α);【变式】过E作EG∥AB,进而得出∠DEB=∠BEG+∠DEG=∠MBE+∠FDE=∠ABQ+∠FDE,再根据平行线的性质以及三角形外角性质,即可得到∠DEB=90°﹣(∠CDP﹣∠ABP)=90°﹣(∠AHP﹣∠ABP)=90°﹣∠P.
如图1,过E作EF∥AB,而AB∥CD,
∴AB∥CD∥EF,
∴∠ABE=∠FEB,∠CDE=∠FED,
∴∠BED=∠BEF+∠DEF=∠ABE+∠CDE,
又∵∠ABP=50°,∠CDP=60°,BE平分∠ABP,DE平分∠CDP,
∴∠ABE=∠ABP=25°,∠CDE=∠CDP=30°,
∴∠BED=25°+30°=55°,
故答案为:55°;
【探究】
如图2,∵∠ABP和∠CDP的平分线交于点E1,
∴∠ABE1=∠ABP=α,∠CDE1=∠CDP=,
∵AB∥CD,
∴∠CDF=∠AFE1=,
∴∠E1=∠AFE1﹣∠ABE1=﹣α=(β﹣α),
∵∠ABE1与∠CDE1的角平分线交于点E2,
∴∠ABE2=∠ABE1=α,∠CDE2=∠CDE1=,
∵AB∥CD,
∴∠CDG=∠AGE2=,
∴∠E2=∠AGE2﹣∠ABE2=(β﹣α),
同理可得,∠E3=(β﹣α),
以此类推,∠En的度数为(β﹣α).
【变式】
∠DEB=90°﹣∠P.理由如下:
如图3,过E作EG∥AB,而AB∥CD,
∴AB∥CD∥EG,
∴∠MBE=∠BEG,∠FDE=∠GED,
∴∠DEB=∠BEG+∠DEG=∠MBE+∠FDE=∠ABQ+∠FDE,
又∵∠ABP的角平分线的反向延长线和∠CDP的补角的角平分线交于点E,
∴∠FDE=∠PDF=(180°﹣∠CDP),∠ABQ=∠ABP,
∴∠DEB=∠ABP+(180°﹣∠CDP)=90°﹣(∠CDP﹣∠ABP),
∵AB∥CD,
∴∠CDP=∠AHP,
∴∠DEB=90°﹣(∠CDP﹣∠ABP)=90°﹣(∠AHP﹣∠ABP)=90°﹣∠P.
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【题目】乐乐是一名健步运动的爱好者,她用手机软件记录了某个月(30天)每天健步走的步数(单位:万步),并将记录结果绘制成了如图所示的统计图(不完整).
(1)若乐乐这个月平均每天健步走的步数为1.32万步,试求她走1.3万步和1.5万步的天数;
(2)求这组数据中的众数和中位数.
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【题目】如图,以直线AB上一点O为端点作射线OC,使∠BOC=70°,将一个直角三角形的直角顶点放在点O处.(注:∠DOE=90°)
(1)如图①,若直角三角板DOE的一边OD放在射线OB上,则∠COE= °;
(2)如图②,将直角三角板DOE绕点O逆时针方向转动到某个位置,若OC恰好平分∠BOE,求∠COD的度数;
(3)如图③,将直角三角板DOE绕点O转动,如果OD始终在∠BOC的内部,试猜想∠BOD和∠COE有怎样的数量关系?并说明理由.
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【题目】甲乙两车间共120人,其中甲车间人数比乙车间人数的4倍少5人.
(1)求甲、乙两车间各有多少人?
(2)若从甲、乙两车间分别抽调工人,组成丙车间研制新产品,并使甲、乙、丙三个车间的人数比为13∶4∶7,那么甲、乙两车间要分别抽调多少工人?
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【题目】某电器超市销售每台进价为120元、170元的A,B两种型号的电风扇,如表所示是近2周的销售情况:(进价、售价均保持不变,利润=销售收入一进货成本)
销售时段 | 销售数量 | 销售收入 | |
A种型号 | B种型号 | ||
第一周 | 6 | 5 | 2200元 |
第二周 | 4 | 10 | 3200元 |
(1)求A、B两种型号的电风扇的销售单价;
(2)若超市再采购这两种型号的电风扇共130台,并且全部销售完,该超市能否实现这两批的总利润为8010元的目标?若能,请给出相应的采购方案;若不能,请说明理由.
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【题目】某星期天下午,小强和同学小颖相约在某公共汽车站一起乘车回学校,小强从家出发先步行到车站,等小颖到了后两人一起乘公共汽车回学校,图中折线表示小强离开家的路程y(公里)和所用时间x(分)之间的函数关系,下列说法中错误的是( )
A. 小强乘公共汽车用了20分钟 B. 小强在公共汽车站等小颖用了10分钟
C. 公共汽车的平均速度是30公里/小时 D. 小强从家到公共汽车站步行了2公里
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【题目】如图,点P是正方形ABCD内一点,点P到点A,B和D的距离分别为1,2,.△ADP沿点A旋转至△ABP′,连接PP′,并延长AP与BC相交于点Q.
(1)求证:△APP′是等腰直角三角形;
(2)求∠BPQ的大小.
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【题目】在棋盘中建立如图的直角坐标系,三颗棋子A,O,B的位置如图,它们分别是(-1,1),(0,0)和(1,0).
(1)如图2,添加棋子C,使A,O,B,C四颗棋子成为一个轴对称图形,请在图中画出该图形的对称轴;
(2)在其他格点位置添加一颗棋子P,使A,O,B,P四颗棋子成为一个轴对称图形,请直接写出棋子P的位置的坐标.(写出2个即可)
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【题目】二次函数y=x2+bx的图象如图,对称轴为直线x=1,若关于x的一元二次方程x2+bx﹣t=0(t为实数)在﹣1<x<4的范围内有解,则t的取值范围是( )
A.t≥﹣1
B.﹣1≤t<3
C.﹣1≤t<8
D.3<t<8
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