Question

3．在正方形ABCD中，BD为对角线，点P从A出发，沿射线AB运动，连接PD，过点D作DE⊥PD，交直线BC于点E． 

（1）当点P在线段AB上时（如图1），求证：BP+CE=$\frac{\sqrt{2}}{2}$BD； 
（2）当点P在线段AB的延长线上时（如图2），猜想线段BP、CE、BD之间满足的关系式，并加以证明；
（3）若直线PE分别交直线BD、CD于点M、N，PM=3，EN=4，求PD的长．

Answer 1

分析 （1）根据已知和图形证明△PAD≌△ECD，得到AP=CE，根据AB=$\frac{\sqrt{2}}{2}$BD，得到答案；
（2）与（1）的方法类似，求出结论；
（3）分P在线段AB上和P在AB延长线上两种情况进行讨论，根据三角形全等和勾股定理证明结论．

解答 证明：（1）∵四边形ABCD是正方形，
∴∠A=∠ADC=∠BCD=∠DCE=90°，AD=CD，
∵DE⊥PD，
∴∠ADC=∠PDE=90°，
∴∠ADP=90°-∠PDC=∠CDE，
∴△PAD≌△ECD，
∴AP=CE，
∴BP+CE=BP+AP=AB=$\frac{\sqrt{2}}{2}$BD；
（2）CE-BP=$\frac{\sqrt{2}}{2}$BD；
理由：△PAD≌△ECD，
∴CE=AP，
∴CE-BP=AP-BP=AB=$\frac{\sqrt{2}}{2}$BD；
（3）①当P在线段AB上时，
如图1所示，在BC上取一点G使得BG=BP，连接MG、NG，
∵△APD≌△CED，
∵AP=CE，PD=ED，
∴△PED是等腰直角三角形，
∴AB=BC=AP+BP=BG+CG，
∴CG=CE，
∴可证△NCG≌△NCE，
∴NG=NE，∠NGC=∠NEC，
∵∠PBM=∠GBM=45°，BP=BG，BM=BM，
∴△BPM≌△BGM
∴PM=GM，∠MGB=∠MPB，
又∠NEC+∠MPB=90°，
∴∠NGC+∠MGB=90°，
∴∠MGN=90°，
∴MN=$\sqrt{M{G}^{2}+N{G}^{2}}$=5，
∴PE=PM+MN+EN=3+5+4=12，
∴PD=$\frac{\sqrt{2}}{2}$PE=6$\sqrt{2}$；
②当P在AB延长线上时，
如图2所示，延长CB至G，使得CG=CE，连接MG、NG，
∵AP=CE，
∴CE-BC=CG-BC=AP-AB=BP=BG，
同①可证△△BMG≌△BMP，△CNG≌△CNE，
∴PM=GM，GN=EN，∠BGM=∠BPM=90°+∠CEN=90°+CGN，
∴∠CGN=∠BGM-90°=∠BGM-∠MGN，
∴∠MGN=90°，
∴MN=$\sqrt{M{G}^{2}+N{G}^{2}}$=5，
∴PN=MN-PM=5-3=2，
∴PE=PN+EN=2+4=6，
∴PD=$\frac{\sqrt{2}}{2}$PE=3$\sqrt{2}$，
∴PD的长为3$\sqrt{2}$或6$\sqrt{2}$．

点评 本题考查的是四边形知识的综合运用，正确运用正方形的性质、正确作出辅助线构造全等三角形是解题的关键，注意分情况讨论思想的运用．