Question

已知：二次函数y=ax²+bx+c（a≠0）的图象如图所示，下列结论中：①abc＞0；②2a+b＜0；③a+b≠m（am+b）（m≠1的实数）；④（a+c）²＜b²；⑤a＞1，其中正确的是（ ）

A．2个
B．3个
C．4个
D．1个

Answer 1

【答案】分析：由抛物线的开口方向判断a的符号，由抛物线与y轴的交点判断c的符号，然后根据对称轴及抛物线与x轴交点情况进行推理，进而对所得结论进行判断．
解答：解：①∵抛物线的开口向上，∴a＞0，
∵与y轴的交点为在y轴的负半轴上，∴c＜0，
∵对称轴为x=-＞0，
∴a、b异号，即b＜0，
又∵c＜0，∴abc＞0，
故本选项正确；

②∵对称轴为x=-＞0，a＞0，
-＜1，
∴-b＜2a，
∴2a+b＞0；
故本选项错误；

③当x=1时，y₁=a+b+c；
当x=m时，y₂=m（am+b）+c，当m＞1，y₂＞y₁；当m＜1，y₂＜y₁，所以不能确定；
故本选项错误；

④当x=1时，a+b+c=0；
当x=-1时，a-b+c＞0；
∴（a+b+c）（a-b+c）=0，即（a+c）²-b²=0，
∴（a+c）²=b²
故本选项错误；

⑤当x=-1时，a-b+c=2；
当x=1时，a+b+c=0，
∴a+c=1，
∴a=1+（-c）＞1，即a＞1；
故本选项正确；
综上所述，正确的是①⑤有2个．
故选：A．
点评：本题主要考查图象与二次函数系数之间的关系，会利用对称轴的范围求2a与b的关系，以及二次函数与方程之间的转换；二次函数y=ax²+bx+c系数符号的确定：
（1）a由抛物线开口方向确定：开口方向向上，则a＞0；否则a＜0；
（2）b由对称轴和a的符号确定：由对称轴公式x=-判断符号；
（3）c由抛物线与y轴的交点确定：交点在y轴正半轴，则c＞0；否则c＜0；
（4）b²-4ac由抛物线与x轴交点的个数确定：2个交点，b²-4ac＞0；1个交点，b²-4ac=0，没有交点，b²-4ac＜0．