Question

（2013•莆田质检）如图，在矩形ABCD中，E是BC边上的点，将△DCE沿DE折叠，使点C落在AE边上的点F处．
（1）求证：AE=BC﹔
（2）若AD=5，AB=3，求sin∠EDF．

Answer 1

分析：（1）根据矩形的性质可得AD=BC，∠C=∠ADC=90°，再根据翻折变换的性质可得∠CDE=∠EDF，∠DFE=∠C，然后根据等角的余角相等求出∠ADE=∠AED，根据等角对等边的性质可得AD=AE，从而得证；
（2）在Rt△ABE中，利用勾股定理列式求出BE，再求出CE，然后根据勾股定理列式求出DE，再根据锐角的正弦等于对边比斜边列式计算即可得解．

解答：（1）证明：在矩形ABCD中，AD=BC，∠C=∠ADC=90°，
∵将△DCE沿DE折叠，点C落在AE边上的点F处，
∴∠CDE=∠EDF，∠DFE=∠C=90°，
∵∠CDE+∠ADE=∠ADC=90°，
∠EDF+∠AED=90°，
∴∠ADE=∠AED，
∴AD=AE，
∴AE=BC；

（2）解：在Rt△ABE中，BE=

AE2-AB2

=

52-32

=4，
∴CE=BC-BE=5-4=1，
在Rt△CDE中，DE=

CD2+CE2

=

32+12

=

10

，
∴sin∠EDF=sin∠CDE=

CE

DE

=

1

10

=

10

10

．

点评：本题考查了矩形的对边相等，四个角都是直角的性质，翻折变换的性质，等角的余角相等的性质，等角对等边的性质，勾股定理以及锐角三角函数，综合题但难度不大，熟记各性质是解题的关键．