Question

【题目】如图，AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，CD⊥AB于D，且∠COD=60°，E为弧BC上一动点（不与点B、C重合），过E分别作于EF⊥AB于F，EG⊥OC于G．现给出以下四个命题：

①∠GEF=60°；②CD=GF；③△GEF一定为等腰三角形；④E在弧BC上运动时，存在某个时刻使得△GEF为等边三角形．

其中正确的命题是_____．（写出所有正确命题的序号）

Answer 1

【答案】①②④

【解析】

①根据四边形的内角和定理即可证到∠GEF=60°；②连接OE，取OE的中点O′，连接O′F，GO′，易证点E、G、O、F四点共圆，延长GO′交 O′于R，连接RF．利用三角函数可证到CD=GF；③运用反证法就可得到△GEF不一定为等腰三角形；④由于∠GEF=60°，要使得△GEF为等边三角形，只需要EG=EF即可，在 O′中只需∠COE=∠BOE即可，在 O中，只需点E在的中点即可．

①∵EF⊥AB，EG⊥OC，

∴∠EGO=∠EFO=90°.

∴∠GEF+∠GOF=180°.

∵∠GOF=180∠COD=180°60°=120°

∴∠GEF=180°120°=60°.

故①正确.

②连接OE,取OE的中点O′,连接O′F,GO′，如图所示.

∵∠EGO=∠EFO=90°,点O′是OE的中点,

∴O′G=O′F=OE.

∴点E.G、O、F在以点O′为圆心,O′O为半径的圆上.

延长GO′交O′于R，连接RF.

则有∠GRF=∠GEF=60°.

∵GR是O′的直径,∴∠GFR=90°.

∴GF=GRsin∠GRF=OEsin60°=OE=OC=CD.

故②正确.

③假设△EGF一定是等腰三角形，

∵∠GEF=60°，∴△EGF一定是等边三角形.

∴EG与EF一定相等.

但E为弧BC上一动点(不与点B.C重合)，显然EG与EF不一定相等.

∴假设不成立.

故③错误.

④当点E运动到的中点时，

则有∠COE=∠BOE.

∴EG=EF.

∵∠GEF=60°，

∴△EGF是等边三角形.

故④正确.

故答案为：①②④.