Question

已知二次函数y=（m-1）x²+4x+m²-1的图象经过原点．
（1）请求出m的值及图象与x轴的另一交点的坐标；
（2）若把（1）中求得的函数的图象沿其对称轴上下平行移动，使顶点移到直线上，请求出此时函数的解析式；
（3）若在（1）中求得的函数的图象上，已知有一点E在x轴上，点F在抛物线上，且点E和点F的横坐标都为-2，能否在抛物线的对称轴上找一点P，使得PE+PF最短？若能，请求出这个最短距离；若不能，请说明理由．

Answer 1

解：（1）∵二次函数y=（m-1）x²+4x+m²-1的图象经过原点．
∴m²-1=0，
解得：m=±1，
∵m-1≠0，
∴m=-1　　　　　　　　　　　　　　　　　　
∴此二次函数的解析式的解析式为：y=-2x²+4x，
∵-2x²+4x=0，
解得：x₁=0，x₂=2，
∴图象与x轴的另一交点的坐标是（2，0）；　　

（2）∵y=-2x²+4x=-2（x-1）²+2，
∴顶点的横坐标为1，
∴y=x=，
∴新函数的顶点坐标为（1，），
∴此时函数的解析式为y=-2（x-1）²+；　　　

（3）能在抛物线的对称轴上找一点P，使得PE+PF最短．
∵点E在x轴上，点F在抛物线上，且点E和点F的横坐标都为-2，
∴E（-2，0），
当x=-2时，y=-2×（-2）²+4×（-2）=-16，
∴F（-2，-16），
取E关于抛物线对称轴x=1的对称点E′（4，0），
连接E′F，交抛物线对称轴x=1于P点，此时即为所求，
∵PE+PF=PE′+PF=E′F===2；
∴最短距离为
分析：（1）由二次函数y=（m-1）x²+4x+m²-1的图象经过原点，即可得m²-1=0，又由m-1≠0，即可求得m的值，求得此二次函数的解析式，继而求得与x轴的另一交点的坐标；
（2）首先求得（1）中二次函数的顶点坐标，由把（1）中求得的函数的图象沿其对称轴上下平行移动，可得横坐标不变，又由顶点移到直线上，即可求得新二次函数的顶点坐标，则可求得此时函数的解析式；
（3）首先求得E与F的坐标，再确定P点的坐标（连接E′F，交抛物线对称轴x=1于P点，此时即为所求），再利用勾股定理求解即可求得这个最短距离．
点评：此题考查了待定系数法求二次函数的解析式，二次函数的平移，点与函数的关系以及最短距离问题．此题综合性较强，难度较大，解题的关键是注意数形结合思想与方程思想的应用．