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已知二次函数y=(m-1)x2+4x+m2-1的图象经过原点.
(1)请求出m的值及图象与x轴的另一交点的坐标;
(2)若把(1)中求得的函数的图象沿其对称轴上下平行移动,使顶点移到直线数学公式上,请求出此时函数的解析式;
(3)若在(1)中求得的函数的图象上,已知有一点E在x轴上,点F在抛物线上,且点E和点F的横坐标都为-2,能否在抛物线的对称轴上找一点P,使得PE+PF最短?若能,请求出这个最短距离;若不能,请说明理由.

解:(1)∵二次函数y=(m-1)x2+4x+m2-1的图象经过原点.
∴m2-1=0,
解得:m=±1,
∵m-1≠0,
∴m=-1                  
∴此二次函数的解析式的解析式为:y=-2x2+4x,
∵-2x2+4x=0,
解得:x1=0,x2=2,
∴图象与x轴的另一交点的坐标是(2,0);  

(2)∵y=-2x2+4x=-2(x-1)2+2,
∴顶点的横坐标为1,
∴y=x=
∴新函数的顶点坐标为(1,),
∴此时函数的解析式为y=-2(x-1)2+;   

(3)能在抛物线的对称轴上找一点P,使得PE+PF最短.
∵点E在x轴上,点F在抛物线上,且点E和点F的横坐标都为-2,
∴E(-2,0),
当x=-2时,y=-2×(-2)2+4×(-2)=-16,
∴F(-2,-16),
取E关于抛物线对称轴x=1的对称点E′(4,0),
连接E′F,交抛物线对称轴x=1于P点,此时即为所求,
∵PE+PF=PE′+PF=E′F===2
∴最短距离为
分析:(1)由二次函数y=(m-1)x2+4x+m2-1的图象经过原点,即可得m2-1=0,又由m-1≠0,即可求得m的值,求得此二次函数的解析式,继而求得与x轴的另一交点的坐标;
(2)首先求得(1)中二次函数的顶点坐标,由把(1)中求得的函数的图象沿其对称轴上下平行移动,可得横坐标不变,又由顶点移到直线上,即可求得新二次函数的顶点坐标,则可求得此时函数的解析式;
(3)首先求得E与F的坐标,再确定P点的坐标(连接E′F,交抛物线对称轴x=1于P点,此时即为所求),再利用勾股定理求解即可求得这个最短距离.
点评:此题考查了待定系数法求二次函数的解析式,二次函数的平移,点与函数的关系以及最短距离问题.此题综合性较强,难度较大,解题的关键是注意数形结合思想与方程思想的应用.
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(5,0)
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