Question

（2013•重庆）如图，平面直角坐标系中，已知直线y=x上一点P（1，1），C为y轴上一点，连接PC，线段PC绕点P顺时针旋转90°至线段PD，过点D作直线AB⊥x轴，垂足为B，直线AB与直线y=x交于点A，且BD=2AD，连接CD，直线CD与直线y=x交于点Q，则点Q的坐标为

（

9

4

，

9

4

）

．

Answer 1

分析：过P作MN⊥y轴，交y轴于M，交AB于N，过D作DH⊥y轴，交y轴于H，∠CMP=∠DNP=∠CPD=90°，求出∠MCP=∠DPN，证△MCP≌△NPD，推出DN=PM，PN=CM，设AD=x，求出DN=2x-1，得出2x-1=1，求出x=1，得出D的坐标，在Rt△DNP中，由勾股定理求出PC=PD=

5

，在Rt△MCP中，由勾股定理求出CM=2，得出C的坐标，设直线CD的解析式是y=kx+3，把D（3，2）代入求出直线CD的解析式，解由两函数解析式组成的方程组，求出方程组的解即可．

解答：解：
过P作MN⊥y轴，交y轴于M，交AB于N，过D作DH⊥y轴，交y轴于H，
∠CMP=∠DNP=∠CPD=90°，
∴∠MCP+∠CPM=90°，∠MPC+∠DPN=90°，
∴∠MCP=∠DPN，
∵P（1，1），
∴OM=BN=1，PM=1，
在△MCP和△NPD中

∠CMP=∠DNP ∠MCP=∠DPN PC=PD

∴△MCP≌△NPD，
∴DN=PM，PN=CM，
∵BD=2AD，
∴设AD=x，BD=2x，
∵P（1，1），
∴DN=2x-1，
则2x-1=1，
x=1，
即BD=2，C的坐标是（0，3），
∵直线y=x，
∴AB=OB=3，
在Rt△DNP中，由勾股定理得：PC=PD=

(3-1)2+(2-1)2

=

5

，
在Rt△MCP中，由勾股定理得：CM=

( 5 )2-12

=2，
则C的坐标是（0，3），
设直线CD的解析式是y=kx+3，
把D（3，2）代入得：k=-

1

3

，
即直线CD的解析式是y=-

1

3

x+3，
即方程组

y=- 1 3 x+3 y=x

得：

x= 9 4 y= 9 4

，
即Q的坐标是（

9

4

，

9

4

），
故答案为：（

9

4

，

9

4

）．

点评：本题考查了用待定系数法求出一次函数的解析式，全等三角形的性质和判定，解方程组，勾股定理，旋转的性质等知识点的应用，主要考查学生综合运用性质进行推理和计算的能力，题目比较好，但是有一定的难度．