Question

12．如图，已知二次函数y=-x²+bx+c的图象交x轴于点A（-4，0）和点B，交y轴于点C（0，4）．
（1）求这个二次函数的表达式；
（2）若点P在第二象限内的抛物线上，求△PAC面积的最大值和此时点P的坐标；
（3）在平面直角坐标系内，是否存在点Q，使A，B，C，Q四点构成平行四边形？若存在，直接写出点Q的坐标；若不存在，说明理由．

Answer 1

分析 （1）用待定系数法求出抛物线解析式，
（2）先判断出△ACP面积的最大值时，点P的位置，求出点P的坐标，再用面积差，求出△ACP面积的最大值为8，
（3）①当AB平行四边形的边时，CQ∥AB，CQ=AB，求出AB，从而得到CQ，求出点Q的坐标，
②当AB为对角线时，CQ必过AB中点，且被AB平分，先求出CQ解析式，利用对角线互相平分求出点Q的坐标．

解答 解：（1）∵二次函数y=-x²+bx+c的图象交x轴于点A（-4，0）和点B，交y轴于点C（0，4）．
∴$\left\{\begin{array}{l}{-16-4b+c=0}\\{c=4}\end{array}\right.$，
∴$\left\{\begin{array}{l}{b=-3}\\{c=4}\end{array}\right.$，
∴二次函数的表达式为y=-x²-3x+4，
（2）如图1，

由（1）有，二次函数的表达式为y=-x²-3x+4，
令y=0，得x=-4，或x=1，
∴B（1，0）
连接AC，PA，PC，
∴点P是直线AC平移之后和抛物线只有一个交点时，S_△PAC最大，
∵A（-4，0），C（0，4），
∴直线AC解析式为y=x+4，
设直线AC平移后的直线解析式为y=x+4+b，
∴$\left\{\begin{array}{l}{y=-{x}^{2}-3x+4}\\{y=x+4+b}\end{array}\right.$，
∴x²+4x+b=0，
∴△=16-4b=0，
∴b=4，
∴点P（-2，6），
过点P作PD⊥y轴
∴PD=2，OD=4，
∵A（-4，0），C（0，4）
∴OA=4，OC=4，
∴CD=2，
∴S_△PAC=S_梯形AODP-S_△PCD-S_△AOC=$\frac{1}{2}$（PD+OA）×OD-$\frac{1}{2}$PD×CD-$\frac{1}{2}$OA×OC=$\frac{1}{2}$（2+4）×6-$\frac{1}{2}$×2×2-$\frac{1}{2}$×4×4=8．
（3）存在点Q，使A，B，C，Q四点构成平行四边形，
理由：①以AB为边时，CQ∥AB，CQ=AB
过点C作平行于AB的直线l，
∵C（0，4），
∴直线l解析式为y=4，
∴点Q在直线l上，
设Q（d，4），
∴CQ=|d|
∵A（-4，0），B（1，0），
∴AB=5，
∴|d|=5，
∴d=±5，
∴Q（-5，4）或（5，4），
②以AB为对角线时，CQ必过线段AB中点，且被AB平分，即：AB的中点也是CQ的中点，
∵A（-4，0），B（1，0），
∴线段AB中点坐标为（-$\frac{3}{2}$，0），
∵C（0，4），
∴直线CQ解析式为y=$\frac{8}{3}$x+4，
设点Q（m，$\frac{8}{3}$m+4），
∴$\sqrt{（m+\frac{3}{2}）^{2}+（\frac{8}{3}m+4）^{2}}$=$\sqrt{（-\frac{3}{2}）^{2}+16}$，
∴m=0（舍）或m=-3，
∴Q（-3，-4），
即：满足条件的点Q的坐标为Q（-5，4）或（5，4）或（-3，-4）．

点评 此题是二次函数综合题，主要考查了待定系数法，三角形面积的计算，平行四边形的性质，极值的确定，中点坐标，解本题的关键是确定出抛物线解析式，难点是分类讨论和点Q的位置和坐标的确定．